Grenzwertbestimmung so erlaubt?

Question

Aufgabe: Zu finden ist eine reelle Lösung für den Grenzwert der folgenden Funktion oder zu begründen, warum dieser ggf. nicht existiert. Die Regel von l'Hospital soll nicht angewandt werden.

\( \lim\limits_{x\to0} \) \( \frac{a^{x}-1}{x} \)

Meine Lösung:

Ich habe bereits eine Lösung gefunden und wäre sehr dankbar, wenn sie jemand gegenprüft und mir sagt, ob ich das so machen darf.

\( \lim\limits_{x\to0} \) \( \frac{a^{x}-1}{x} \) =       \( \lim\limits_{x\to0} \) (\( a^{x} \)-1) · (\( \frac{1}{x} \)) =       \( \lim\limits_{x\to0} \) (\( a^{x} \)-1) · (\( x^{-1} \)) =        (\( a^{0} \)-1) · (\( 0^{-1} \)) =      (0 - 1) · 0 =      0

Frage ist also eigentlich, ob es mir erlaubt ist, den Bruch \( \frac{1}{x} \) zu \( x^{-1} \) umzuformen und dann den für x = 0 einzusetzen oder ob das aus irgendeinem Grund nicht geht (gerne diesen dann ggf. auch benennen :D )

Lieben Dank!

Answer 1

Aloha :)

Ohne Ableitungsregeln musst du etwas Term-Gymnastik betreiben...

Wir definieren \(\left(y\coloneqq a^x-1\right)\) und stellen nach \(x\) um:$$y=a^x-1\implies a^x=1+y\implies \ln(a^x)=\ln(1+y)\implies x\ln(a)=\ln(1+y)\implies$$$$x=\frac{\ln(1+y)}{\ln(a)}$$

Für \(x\to0\) geht auch \(y\to0\), denn:$$\lim\limits_{x\to0}y=\lim\limits_{x\to0}\left(a^x-1\right)=a^0-1=1-1=0$$

Daher können wir den gesuchten Grenzwert wie folgt schreiben:$$\lim\limits_{x\to0}\frac{a^x-1}{x}=\lim\limits_{y\to0}\frac{y}{\frac{\ln(1+y)}{\ln(a)}}=\lim\limits_{y\to0}\frac{\ln(a)}{\frac1y\ln(1+y)}=\lim\limits_{y\to0}\frac{\ln(a)}{\ln\left(1+y)^{\frac1y}\right)}=\frac{\ln(a)}{\ln\left(\lim\limits_{y\to0}\left(1+y\right)^{\frac1y}\right)}$$Wegen \(\left(\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^n=e\right)\) konvergiert der Nenner:$$\lim\limits_{x\to0}\frac{a^x-1}{x}=\frac{\ln(a)}{\ln(e)}=\ln(a)$$

Comments

Ich bin dir so unfassbar dankbar Tschakabumba!!

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Ohne Ableitungsregeln musst du etwas Term-Gymnastik betreiben...

Wie kommt man darauf?

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Das frage ich mich auch. Wahrscheinlich einfach verdammt viel Erfahrung, weil offenkundig ist das nicht... Aber die Idee merke ich mir, dass in so einem Fall doch irgendwie mit Logarithmen nach x aufgelöst werden kann.

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Ich wußte ja, dass \(\ln(a)\) rauskommen muss. Daher war die Idee, das \(x\) mittels der \(\ln\)-Funktion aus dem Exponenten zu holen, um schon mal \(\ln(a)\) irgendwo stehen zu haben. Nachdem ich in dem Bruch dann die \(y\)-Substitution eingesetzt hatte, war klar, dass \(\ln(a)\) in den Zähler muss. Also habe ich alles andere in den Nenner geschoben. Und dann stand da quasi schon der "typische" Grenzwert für \(e\).

Answer 2

Der "Grenzwert " von (1/x) ist NICHT 0, sondern ±∞.

Comments

Oh shit ja stimmt. Ach kacke ... dann macht das alles keinen Sinn.

Hast du eine Idee wie sich das umformen lässt?

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Steht dir die Taylorentwicklung von a^x zur Verfügung?

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Nein, Taylorentwicklung hatten wir noch nicht in der VL

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\(\lim\limits_{x\to0} \) \( \frac{a^{x}-1}{x} \) berechnet eigentlich die Ableitung der Funktion a^x an der Stelle 0.

Dürft ihr bekannte Ableitungsregeln verwenden, oder soll hier erst die Ableitungsregel für Exponentialfunktionen hergeleitet werden?

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Nein, die Ableitungsregeln dürfen wir noch nicht verwenden, wir sind, genau wie du es vermutest gerade kurz vor der Einführung dieser bzw. das letzte was Besprochen wurde war die Definition von Differenzierbarkeit.