Wie gibt man die Dimension und Basis einer Abbildung an?

Question

Aufgabe:

Die Abbildung projiziert jeden Punkt im Raum orthogonal auf Ebene E: z = x+y

Es soll eine Basis und Dimension des Bildraums B angegeben werden

Problem/Ansatz:

Wie geht man hier vor?

Answer 1

Aloha :)

Ich vermute, dass mit Bildraum die Ebene \(E\) gemeint ist. Für alle Punkte \(\vec x\) der Ebene gilt:$$\vec x=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x\\y\\x+y\end{pmatrix}=x\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}$$Die beiden Richtungsvektoren bilden eine Basis, da sie sind linear unabhängig sind.

Die Dimension des Bildraums ist gleich \(2\).