Zeigen, dass g(Kern(f)) echte Teilmenge von Kern(F), g(Im(f) echte Teilmenge Im(f)

Question

Text erkannt:

Aufgabe 49
Seien \( f: V \rightarrow V \) und \( g: V \rightarrow V \) zwei linearen Abbildungen sodass \( f \circ g=g \circ f \).
Zeigen Sie, dass
\( g(\operatorname{Kern}(f)) \subset \operatorname{Kern}(f), \quad g(\operatorname{Im}(f)) \subset \operatorname{Im}(f) \)

Aufgabe:

Problem/Ansatz:

könnte mir hier wer weiterhelfen wie ich das zeige?

Answer 1

Hallo,

in deinem Titel steht "echte Teilmenge". Das kann allerdings nicht gemeint sein, betrachte z.B. \(f=g=\mathrm{Id}_V\).

Dementsprechend sind einfach nur die Mengeninklusionen zu zeigen. Zuerst \(g(\mathrm{Kern}(f))\subseteq \mathrm{Kern}(f)\):
Sei also \(v\in g(\mathrm{Kern}(f))\), dann gibt es ein \(u\in V\) sodass \(f(u)=0\) und \(v=g(u)\). Was ist also \(f(v)=f(g(u))\)? hier musst du benutzen, dass \(f\circ g=g\circ f\) dann steht eigentlich alles da.

Ähnlich geht dann auch \(g(\mathrm{Im}(f))\subseteq \mathrm{Im}(f)\)

LG Dojima

Comments

danke! ich verstehe nur den letzten Step noch nicht ganz wie ich \( f \circ g=g \circ f \) da benutzen soll...

---

Naja, \(f\circ g=g\circ f\) heißt ja, dass \(f(g(x))=g(f(x))\) für alle \(x\in V\) gilt. Wende das auf \(f(v)=f(g(u))\) an.