Stimmt der Beweis zum Archimedischen Axiom?

Question

Hallo,

Ich wollte nur wissen, ob ich den Beweis des Archimedischen Axioms korrekt geführt habe.

Satz : ∀ε>0 ∃ n ∈ ℕ : 1/n < ε

Beweis : Sei ε>0 beliebig vorgegeben. Nach

dem Satz ℚ ist dicht in ℝ gibt es insbesondere für s : = ε/2 ein q ∈ ℚ : | q - ε/2 | < ε/2. Daraus folgt 0 < q < ε, für q := 1/n erhalte mit 0 < q < ε und q = 1/n :

0 < q = 1/n < ε*n/n = ε

q.e.d

Danke.

Comments

"dem Satz ℚ ist dicht in ℝ gibt es insbesondere für s : = ε/2 ein q ∈ ℚ : | q - ε/2 | < ε/2. Daraus folgt 0 < q < ε, für q := 1/n "

Eine Kleinigkeit: q ∈ ℚ mit q = 1/n ist eine Annahme die kurz begründet werden muss.

Erstmal weißt du nur, dass die rationale Zahl q=m/n wegen 0 < q < ε positiv ist, also m,n∈ℕ  und m≠0, dann kommt die Abschätzung ε > q = m/n ≥ 1/n

Answer 1

Keine Ahnung, warum du ε erst durch zwei teilst, das brauchst du doch nicht. Und außerdem ist der Betrag aus q minus ε/2 nicht sinnvoll. Denn damit beschreibst du auch q die größer sind als ε/2. Aber an sich ist die Idee nicht falsch.

Vielleicht eher so:

Da ℚ dicht in ℝ und ε ∈ ℝ

∃ q ∈ ℚ : 0 < q < ε

q = a/b : a und b ∈ ℕ da q ∈ ℚ

0 < (a/b)/a < q

(a/b)/a = 1/b

q.e.d.