Allgemeine Lösung von einer Differentialgleichung berechnen und die Grenzwerte bestimmen

Question

vor mir steht meine Mathe-Prüfung in einigen Wochen und löse die Probeklausuren vom Prof als Übung. Ich habe bisschen Schwierigkeiten mit der folgenden Aufgabe bekommen:

Aufgabe:

a) Berechnen Sie die allgemeine Lösung y(x) der Differentialgleichung y' + y = 2 und bestimmen Sie die Grenzwerte

$$ \lim _{x \rightarrow+\infty} y(x) \text { und } \lim _{x \rightarrow-\infty} y(x) . $$

b) Berechnen Sie die Lösung  y_awa(x) der Differentialgleichung y' + y = 2, die an der Stelle x₀ = 1 den Wert y₀ = 0 annimmt.
 b1) Untersuchen Sie die Monotonieeigenschaften von y_awa(x).
 b2) Ist y_awa(x) konvex oder konkav? Begründen Sie Ihre Antwort.
 b3) Zeichnen Sie y = y_awa(x) in der xy-Ebene.

Problem/Ansatz:

Die Vorlesungen darüber habe ich verpasst und damit den Stoff nicht so gut verstanden und immernoch solche Aufgaben bringe ich bis Ende/korrekte Resultat leider nicht.

Vielen Dank.

Answer 1

Hallo,

Aufgabe a) :

Lösung via Trennung der Variablen:

y' + y = 2 |-y

y' =2-y

dy/dx= 2-y

dy/(2-y)= dx

-ln| y-2| =x+C |*(-1)

ln| y-2| =-x-C | e hoch

l y-2| = e^(-x-C)

y-2= e^-x * ± e^(-C) ; ± e^(-C)=C₁

y-2= C₁ e^(-x) |+2

y= C₁ e^(-x) +2 → Lösung

Grenzwert → +∞ =  2

Grenzwert → -∞ : = ∞

Aufgabe b)

Stelle x0 = 1 den Wert y0 = 0 annimmt.

0= C₁ e^(-1) +2 | -2

-2= C₁ e^(-1) 

C1= -2e

------>

y=  (-2e) *e^(-x) +2

y= -2 e^(1-x) +2

Comments

± e^(-C)=C₁
y= C₁ e^(-x) +2 → Lösung

y=2 ist auch eine Lösung.

---

Für C=0 gilt nach deinen Ausführungen y= ±e^(-x) +2.

Außerdem ist

Grenzwert → -∞ : = ∞

falsch, wenn y=2 ist.

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Ja , es stimmt, bei der Division durch 2-y geht eine Lösung verloren

y=2 ist eine weitere Lösung.