Bestimmen Sie Realteil und Imaginärteil der komplexen Zahl

Question

Aufgabe:

Wir betrachten die komplexe Zahl z mit z=1−3⋅i .

Bestimmen Sie Realteil und Imaginärteil der komplexen Zahl 1/z.

Problem/Ansatz:

Ich hab hier für Re(1/z) = 1 und für Im(1/z) = 1/(-3), ich bin mir aber nicht sicher ob das wirklich so eine einfache Lösung sein kann oder ob ich z erst rechnen muss...

Answer 1

Aloha :)

Erweitere und nutze dann im Nenner die dritte binomische Formel:$$\frac 1z=\frac{1}{1-3i}=\frac{1+3i}{(\underbrace{1}_{a}-\underbrace{3i}_{b})\cdot(\underbrace{1}_{a}+\underbrace{3i}_{b})}=\frac{1+3i}{\underbrace{1^2}_{a^2}-\underbrace{(3i)^2}_{b^2}}=\frac{1+3i}{1+9}=\frac{1+3i}{10}$$$$\phantom{\frac1z}=\underbrace{\frac{1}{10}}_{\text{Re}}+\underbrace{\frac{3}{10}}_{\text{Im}}\,i$$

Comments

warum ist es im zähler 1+ 3i

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ok habs selber herausgefunden

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Wie kommt man genau im Zähler auf 1+3i?

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Wie ist es wenn -3*i -2? Was kommt dabei raus @Tschakabumba

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Die Erweiterung mit $(1+3i)$ ist genau so gewählt, dass wir im Nenner die 3-te binomische Formel anwenden können. Das ist ein "Standard-Trick", um den Nenner bei einem komplexen Bruch zu einer realen Zahl zu machen:

$$\frac{1}{a+ib}=\frac{(a-ib)}{(a+ib)(a-ib)}=\frac{a-ib}{a^2+b^2}$$$$\frac{1}{a-ib}=\frac{(a+ib)}{(a-ib)(a+ib)}=\frac{a+ib}{a^2+b^2}$$

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Bei z = -3*i -2 habe ich für Im = 3/13 und für Re = -2/13. Stimmt das?

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Ja, das stimmt$\quad\checkmark$

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Danke dir :)))

Answer 2

ich bin mir aber nicht sicher ob das wirklich so eine einfache Lösung sein kann

Dann berechne (1−3⋅i) ⋅ (1 + 1/(-3)⋅i).

Wenn das Ergebnis 1 ist, dann ist deine Lösung richtig, ansonsten ist es falsch.