Integral mit Substitution

Question

Aufgabe:

Wie kann ich das Integral  ∫(sin(ax))⁵(1-(sin(ax))⁴⁾ cos(ax) dx  mit Hilfe der Substitution y=(sin(ax))²

^{Lösen? a < 0}

Problem/Ansatz:

Kann mir jemand helfen diese Aufgabe zu lösen, mit ausführlichen Rechenweg?

Das super lieb.

Answer 1

Es soll wohl \(a\ne0\) heißen.$$\begin{aligned}y&=\sin^2(ax)\\\mathrm dy&=2a\sin(ax)\cos(ax)\mathrm dx\end{aligned}\\\quad\int\sin^5(ax)\left(1-\sin^4(ax)\right)\cos(ax)\mathrm dx\\=\int\frac1{2a}\sin^4(ax)\left(1-\sin^4(ax)\right)\cdot\underbrace{2a\sin(ax)\cos(ax)\mathrm dx}_{\mathrm dy}\\=\frac1{2a}\int y^2(1-y^2)\mathrm dy.$$

Answer 2

hallo

1. substitution ax=u

dann sin^2(u)=1-cos^2(u) alles ersetzen bleibt ein Faktor sin(u)

dann 2. Substitution cos(u)=v, dv=sin(u)du

Gruß lul