Aloha :)
Zur Bestimmung des Grenzwertes$$\phantom=\lim\limits_{x\to0}\left(\frac{1}{1-\cos x}-\frac{2}{x^2}\right)$$bringen wir beide Brüche auf den Hauptnenner und fassen sie zusammen$$=\lim\limits_{x\to0}\left(\frac{x^2}{x^2(1-\cos x)}-\frac{2(1-\cos x)}{x^2(1-\cos x)}\right)=\lim\limits_{x\to0}\left(\frac{x^2-2(1-\cos x)}{x^2(1-\cos x)}\right)$$$$=\lim\limits_{x\to0}\left(\frac{x^2+2\cos x-2}{x^2(1-\cos x)}\right)$$
Für \(x\to0\) ergeben sowohl der Zähler als auch der Nenner den Wert \(0\). Wir können daher die Regel von L'Hospital anwenden. Dazu leiten wir Zähler und Nenner unabhängig voneinander ab:$$\left(x^2+2\cos x-2\right)'=2x-2\sin x$$$$\left(\underbrace{x^2}_{=u}\cdot\underbrace{(1-\cos x)}_{=v}\right)'=\underbrace{2x}_{=u'}\cdot\underbrace{(1-\cos x)}_{=v}+\underbrace{x^2}_{=u}\cdot\underbrace{\sin x}_{=v'}$$
Wir stellen fest, dass auch die Ableitungen von Zähler und Nenner für \(x\to0\) immer noch beide \(0\) ergeben. Daher wenden wir die Regel von L'Hospital ein zweites Mal an:$$\left(2x-2\sin x\right)'=2-2\cos x$$$$\left(2x(1-\cos x)+x^2\sin x\right)'=2(1-\cos x)+2x\sin x+2x\sin x+x^2\cos x$$$$\phantom{\left(2x(1-\cos x)+x^2\sin x\right)'}=2-2\cos x+4x\sin x+x^2\cos x$$
Hmm, so richtig gut meint es der Aufgabensteller mit uns nicht. Für \(x\to0\) gehen auch die doppelt abgeleiteten Zähler und Nenner gegen \(0\). Aber wir sind ja nun schon geübt und leiten einfach ein weiteres Mal ab:$$(2-2\cos x)'=2\sin x$$$$(2-2\cos x+4x\sin x+x^2\cos x)'=2\sin x+4\sin x+4x\cos x+2x\cos x-x^2\sin x$$$$\phantom{(2-2\cos x+4x\sin x-x^2\cos x)'}=6\sin x+6x\cos x-x^2\sin x$$
Böser Aufgabensteller! Immer noch erhalten wir für \(x\to0\) für Zähler und Nenner den Wert \(0\). Also machen wir weiter:$$(2\sin x)'=2\cos x$$$$(6\sin x+6x\cos x-x^2\sin x)'=6\cos x+6\cos x-6x\sin x-2x\sin x-x^2\cos x$$$$\phantom{(6\sin x+6x\cos x-x^2\sin x)'}=12\cos x-8x\sin x-x^2\cos x$$
Yeah!!! Geht doch! Damit haben wir den Grenzwert gefunden:$$\lim\limits_{x\to0}\left(\frac{1}{1-\cos x}-\frac{2}{x^2}\right)=\lim\limits_{x\to1}\left(\frac{2\cos x}{12\cos x-8x\sin x-x^2\cos x}\right)=\frac{2}{12-0-0}=\frac16$$
