Differentialquotienten und Ableiten

Question

Untersuchen Sie die folgenden Funktionen auf Differenzierbarkeit und berechnen Sie gegebenen-

falls die Ableitung
(a) \( f: \mathbb{R}_{>0} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\sqrt{x} \)
(b) \( g: \mathbb{R}_{>0} \rightarrow \mathbb{R}_{,} g(x)=\frac{1}{x} \)
Achtung Sie sollen hier die Ableitungen punktweise mithilfe eines Differentialquotienten bestimmen. Einfaches
Ableiten bringt in dieser Aufgabe keine Punkte!

Problem/Ansatz:

Am Anfang dachte ich hätte diese Aufgabe verstanden, jedoch hab ich das klein geschriebenes überlesen. Verstehe nun jedoch nicht, was sie mit punktweise Differentialquote meinen. Kann mir jemand es mir erklären?

Answer 1

Ich denke, hier ist das Ableiten z.B. über die h-Methode gemeint.

(f(x + h) - f(x)) / h = (1/(x + h) - 1/x) / h = - 1/(x·(x + h))

lim (h → 0) - 1/(x·(x + h)) = - 1/x^2

Answer 2

Aloha :)

Beide Funktionen sind für \(x>0\) definiert. Die Ableitungen sind:

$$f'(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim\limits_{x\to x_0}\frac{\sqrt{x}-\sqrt{x_0}}{x-x_0}=\lim\limits_{x\to x_0}\frac{(\sqrt{x}-\sqrt{x_0})(\sqrt x+\sqrt x_0)}{(x-x_0)(\sqrt{x}+\sqrt{x_0})}$$$$\phantom{f'(x_0)}=\lim\limits_{x\to x_0}\frac{(\sqrt{x})^2-(\sqrt{x_0})^2}{(x-x_0)(\sqrt{x}+\sqrt{x_0})}=\lim\limits_{x\to x_0}\frac{(x-x_0)}{(x-x_0)(\sqrt{x}+\sqrt{x_0})}$$$$\phantom{f'(x_0)}=\lim\limits_{x\to x_0}\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x_0}}=\frac{1}{2\sqrt{x_0}}$$

$$g'(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0}\frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}=\lim\limits_{x\to x_0}\frac{\frac{1}{x}-\frac{1}{x_0}}{x-x_0}=\lim\limits_{x\to x_0}\frac{\frac{x_0}{x\cdot x_0}-\frac{x}{x\cdot x_0}}{x-x_0}=\lim\limits_{x\to x_0}\frac{\frac{x_0-x}{x\cdot x_0}}{x-x_0}$$$$\phantom{g'(x_0)}=\lim\limits_{x\to x_0}\frac{x_0-x}{x\cdot x_0\cdot(x-x_0)}=-\lim\limits_{x\to x_0}\frac{(x-x_0)}{x\cdot x_0\cdot(x-x_0)}=-\lim\limits_{x\to x_0}\frac{1}{x\cdot x_0}=-\frac{1}{x_0^2}$$

Comments

Vielen Dank, dass du dir extra diese Mühe gemacht hast. Hab jedoch mit der Methode von der Antwort darüber gemacht. Hab jedoch meins mit deins verglichen und hab anscheinend alles richtig gemacht.