Question

Stelle eine homogene lineare Differentialgleichung 3. Ordnung auf, so dass eine Lösungsbasis gegeben ist durch

y₁(t) = 1, y₂(t) = t, y₃(t) = e^t

Comments

Welche allgemeine Form hat denn eine solche Differentialgleichung?

Answer 1

Hallo,

allg. Form: y''' +A y'' +By'+Cy =0

y=c1 +c2t +c3e^t

y'= c2 +c3e^t

y'' = c3e^t

y'''= c3e^t

--------->in die DGL eingesetzt:

y''' +A y'' +By'+Cy =0

c3e^t +A c3e^t +B(c2 +c3e^t) +C(c1 +c2t +c3e^t)=0

c3e^t +A c3e^t +Bc2 +Bc3e^t +Cc1 +Cc2t +Cc3e^t=0

-->Koeffizientenvergleich:

Bc2  +Cc1 =0

c3e^t:   1+A+B+C=0

c2:                    B=0

c1:                   C=0

------>A=-1

-----> y''' - y''  =0

Die Probe bestätigt die Richtigkeit des Ergebnisses.