Term vereinfachen um Existenz des Grenzwerts zu beweisen

Question

Mein Ziel ist es, folgendes zu zeigen $$ \lim\limits_{h\to\{0}\frac{((hv)^{3}+(x+hv)^{3})^{1/3}-x}{h}=v $$

dabei muss ich natürlich versuchen h aus dem Nenner zu bekommen, jedoch finde ich keine Möglichkeit den Term dementsprechend zu vereinfachen.

Comments

Hallo

das sieht nach einer Ableitung aus? kannst du sagen wie die Formel entstand?

lul

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h aus dem Nenner zu bekommen

Zur Not hilft die Allzweckwaffe l'Hospital

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Ja richtig, ist eine Richtungsableitung

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Hallo

Richtungsableitung für welche Funktion?

lul

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Schließe mich luls Frage an.

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Text erkannt:

Gegeben sei die Funktion
\( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\left(x_{1}^{3}+x_{2}^{3}\right)^{\frac{1}{3}}, \quad x=\left(x_{1}, x_{2}\right) \in \mathbb{R}^{2} . \)
(a) Zeigen Sie, dass die Richtungsableitung von \( f \) im Punkt \( x_{0}=(0,0) \) für jede Richtung existiert.
(b) Betrachten Sie nun \( f \) auf ganz \( \mathbb{R}^{2} \). Bestimmen Sie für welche Punkte \( x=\left(x_{1}, x_{2}\right) \in \mathbb{R}^{2} \) und welche Richtungen \( v \) die Richtungsableitung von \( f \) in \( x \) existiert und berechnen sie diese gegebenenfalls.

Das ist die Aufgabe und ich versuche grade bei der b) zu zeigen, dass für x₁ oder x₂ =0 die Richtungsableitung funktioniert.

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zum genaueren Ausführen :

\( \frac 1h (\sqrt[3]{(hv)^3+(x+hv)^3} -x)\) = \( \frac v k (\sqrt[3]{k^3+(x+k)^3} -x)\)

= \( \frac v k* ((x+k)*\sqrt[3]{(\frac{k}{x+k})^3+1} -x)\) ≈ \( \frac v k* ((x+k) *(1+\frac 1 3 (\frac{k}{x+k})^3) -x) \)

= \( \frac v k*(x+k+\frac 1 3 \frac {k^3}{(x+k)^2} - x)\) = \( v*(1+\frac 1 3 (\frac{k}{x+k})^2)\)