Semidirekte Produkt von ℤ und ℤ berechnen

Question

Aufgabe:

1. Berechne das semidirekte Produkt von ℤ und ℤ

2. Ordnen diese in Gruppen ein

3. Welche Gruppe ist abelsch ?

Ich würde mich über jede Hilfe und Antwort freuen.

Danke im Voraus:)

Comments

das semidirekte Produkt

Gibt es nicht mehrere semidirekte Produkte
und zwar so viele wie es verschiedene Gruppenhomomorphismen

\((Z,+)\rightarrow Aut((Z,+))\) gibt?

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Oh ja hab ich wohl übersehen.

Genauer lautet die Aufgabe: Ordnen Sie alle Gruppen die ein semidirektes Produkt von ℤ und ℤ sind ein.

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\((Z,+)\) ist eine zyklische Gruppe, die nur die beiden

Erzeugenden +1 und -1 besitzt. Ein Automorphismus von

\((Z,+)\) muss Erzeugende auf Erzeugende abbilden und

daher die identische Abbildung sein oder

die Abbildung \(\sigma: z\mapsto -z\). Vielleicht nützt das was ?

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Hmm ich komme mit dem Tipp leider nicht weiter.

Ich habe leider ein allgemeines Problem bei dem Thema, weshalb ich mit der Aufgabe nicht voran komme.

Deshalb würde ich mich um jede weitere Hilfe freuen.

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Kann mir jemand vielleicht weiter helfen?

Ich sitze momentan an der Aufgabe und komme nicht weiter:/

Answer 1

Sei \(\sigma\in Aut(Z,+)\) definiert durch \(\sigma(z)=-z\).

Dann definieren wir \(\tau:Z\rightarrow Aut(Z,+),\; x\mapsto \sigma^z\).

Die Addition \(\oplus\) in dem zugehörigen semidirekten Produkt

funktioniert dann so:

\((x_1,x_2)\oplus(y_1,y_2)=(x_1+\tau(x_2)(y_1),x_2+y_2)=(x_1+\sigma^{x_2}(y_1),x_2+y_2)\)

Für gerade \(x_2\) bedeutet dies:

\((x_1,x_2)\oplus(y_1,y_2)=(x_1+y_1,x_2+y_2)\),

für ungerades \(x_2\) bekommt man hingegen

\((x_1,x_2)\oplus(y_1,y_2)=(x_1-y_1,x_2+y_2)\).

Außer diesem semidirekten Produkt gibt es nur noch

das "normale" direkte Produkt.

Da ich bzgl. semidirekter Produkte kein Spezi bin,

findet sich ja vielleicht noch ein anderer wissenderer

Helfer für diese Aufgabe ....

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Danke für deine Hilfe :)