die Anzahl der Elemente bestimmen

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie speziell für \( n=2 \) und \( K=\mathbb{F}_{3}=\mathbb{Z} / 3 \mathbb{Z} \) die Anzahl der Elemente von \( \mathrm{O}\left(2, \mathbb{F}_{3}\right) \).

Hallo, kann mir jemand einen Ansatz für die Aufgabe geben? F3 kann ja bloß {0,1,2} sein.

Comments

Wie ist denn \(O(2,F_3)\) definiert, kenne die orthogonale
Gruppe nur für den Fall, dass der Körper die reellen Zahlen sind.

Ist es die Gruppe aller 2x2-Matrizen \(A\) mit

\(A^TA=E_2\), wobei \(E_2\) die 2x2-Einheitsmatrix ist ?

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\( \left.O(2, \mathbb{R})=\left\{\begin{array}{ll}\cos \varphi & \sin \varphi \\ -\varepsilon \sin \varphi & \varepsilon \cos \varphi\end{array}\right) \mid \varepsilon \in\{-1,1\}, \varphi \in[0,2 \pi]_{\mathbb{R}}\right\} \)

Ich verstehe nicht so ganz, wie ich die Elemente bestimmen soll.

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Das gibt doch gar keinen Sinn. Der Körper in der Aufgabe

ist doch nicht \(\mathbb{R}\), sondern \(\mathbb{F}_3\)

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Sorry hab da was vertauscht. Sind es dann alle orthogonale 2X2 Matrizen mit den Einträgen 0-2?

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Ich glaube, es geht um alle 2x2-Matrizen \(A\) mit

Einträgen in \(F_3\), für die \(A^TA\) die

Einheitsmatrix ist.

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Genau das meine ich, danke

Answer 1

Sei \(A^TA=E_2\). Dann gilt für$$A=\left(\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right):\;A^TA=\left(\begin{array}{cc}a^2+c^2&ab+cd\\ab+cd&b^2+d^2\end{array}\right)$$.

Es muss also \(a^2+c^2=1\), \(b^2+d^2=1\) und \(ab+cd=0\) gelten.

Wieviele Möglichkeiten gibt es in \(F_3\) für \(a^2+c^2=1\),

d.h. wieviele verschiedene Möglichkeiten gibt es für

die erste Spalte von \(A\) ?

Kommst du vielleicht so ein bisschen weiter?

Zum Vergleich: ich komme auf 8 Elemente in der

orthogonalen Gruppe (ohne Gewähr ;-))

Comments

Auf jeden Fall, danke dir für die Mühe!