Komplexe Zahlen umrechnen

Question

Schreiben Sie die folgenden komplexen Zahlen in der form a + bi mit a, b ∈ R:

(i) ((−1/2) + (1/2)*√3i)^3

(ii)  (3−4i) / (1+2i)

Ich habe jetzt schon so viel herumprobiert aber habe wirklich keine Ahnung wie ich das lösen kann.

Answer 1

Hallo,

bei höheren Potenzen gehst Du den Weg über Betrag und Winkel:

z=√(Realteil)^2 +(Imaginärteil)^2  =1

tan φ = Imaginärteil/Realteil = - √3 (2.Quadrant)  ->φ =(2 π)/3

=1

oder

i) \( \left(-\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \sqrt{3} i\right)^{3} \)

= \( \left(-\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \sqrt{3} i\right)^{3} \) = \( \left(-\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \sqrt{3} i\right)^{2} \) *\( \left(-\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \sqrt{3} i\right) \)

=( \( -\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3} i}{2} \)) *\( \left(-\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \sqrt{3} i\right) \)

->binomische  Formel

= 1/4  + 3/4= 1

(ii)  (3−4i) / (1+2i)

hier erweiterst Du konjugiert komplex *(1-2i)  Zähler und Nenner

(3−4i) / (1+2i) *(1-2i)/(1-2i)

= (3-6i -4i -8)/(1+4)

= (-5-10i)/ 5

= -1 -2i

Comments

Ahjaa das scheint Sinn zu ergeben. Nur eins verwundert mich. Wo ist das Quadrat bei i) hin?

---

= \( \left(-\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \sqrt{3} i\right)^{2} \)

=  (-1/2 +(√3 *i)/2) * (-1/2 +(√3 *i)/2)

= 1/4 - √3/4 *i -- √3/4 *i -3/4

= -1/2 - √3/2 *i

Answer 2

\(  (\frac{-1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} i)^3  \)

\(  ( \frac{1}{2} \cdot ( -1 +  i\sqrt{3} ) ) ^3  \)

\(  \frac{1}{8} \cdot ( -1 + i \sqrt{3} ) ^3  \)

\(  \frac{1}{8} \cdot ( (-1)^3 + 3(-1)^2i\sqrt{3} + 3(-1)(i\sqrt{3} ) ^2  +  (i\sqrt{3} ) ^3 ) \)

\(  \frac{1}{8} \cdot ( -1 + 3i\sqrt{3} - 3\cdot(-3)  +  (-i\cdot 3\sqrt{3} ))  \)

\(  \frac{1}{8} \cdot ( -1 + 3i\sqrt{3} +9 - 3i\sqrt{3} )  \)

\(  \frac{1}{8} \cdot ( -1  +9 )  = 1 \)

Answer 3

Zu (i):

Hier ein Weg zum Spaß außer Konkurrenz, der sich nicht gerade

anbietet:

Sei \(x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\), dann gilt

\(2x+1=\sqrt{3}i\). Quadrieren liefert

\((2x+1)^2 = -3\), d.h. \(4x^2+4x +4=0\),

also \(x^2+x+1=0\), folglich

\(0=(x-1)(x^2+x+1)=x^3-1\), und daher \(x^3=1\).