Geborochenrationale Funktionen - Eigenschaften am Graphen ablesen

Question

Hallo Lounger,

Aufgabe:

Nachfolgend sind Funktionsvorschriften und Graphen gebrochenrationaler Funktionen gegeben.

Ordnen Sie den Funktionen den passenden Graphen zu und ergänzen Sie die Tabelle.

Für eine Funktion ist der Graph nicht abgebildet, für diese muss die Zeile nicht ausgefüllt werden.

Es werden keine Berechnenungen erwartet, lesen Sie die Eigenschaften aus den Graphen ab.

Genau das ist mein Problem: Wie lese ich die Eigenschaften ab?

In der Tabelle ist der Definitionsbereich anzugeben, behebbare Definitionslücken, Polstellen mit und ohne VZW sowie das Grenzverhalten gegen plus/minus unendlich.

Die Funktionen sind:

\(f_1(x)=\frac{x+1}{x^2-1}\qquad f_2(x)=\frac{-x}{x^2-1}\qquad f_3(x)=\frac{x^2}{(x-1)^2}\qquad f_4(x)=\frac{x^2}{x^2-1}\qquad f_5(x)=\frac{x}{(x-1)^2}\)

und das die Graphen:

Gruß, Silvia

Answer 1

Hallo Silvia,

zuerst würde ich die Nenner x²-1 als (x-1)(x+1) schreiben.

Dann sieht man, dass f1 als 1/(x-1) mit hebbarer Lücke bei -1 geschrieben werden kann. Da f1(0)=-1 ist, kommt nur Abb. 3 infrage. Außerdem sieht die Kurve wie die verschobene Hyperbel von 1/x aus.

Weitere Funktionen mit hebbaren Lücken gibt es nicht, da die Zähler alle für x=0 Null ergeben, die Nenner aber nicht.

f2 und f4 haben Polstellen bei +1 und -1. Da kommen Abb. 1 und Abb. 4 infrage. Bei x=0 hat f2 eine einfache Nullstelle und f4 eine doppelte.

Also f2 → Abb. 1 ; f4 → Abb. 4.

Bleiben noch f3 oder f5 für Abb. 2. Die Funktionen unterscheiden sich nur im Zähler. Da in der Abbildung eine einfache Nullstelle zu sehen ist, scheint es sich um f5 zu handeln. Da f3 wegen der Quadrate keine negativen Funktionswerte liefert, stimmt die Vermutung.

❤️

Comments

Top! Ich danke dir.

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Gerne.

☺

Answer 2

Es werden keine Berechnenungen erwartet, lesen Sie die Eigenschaften aus den Graphen ab.

Du solltest den y-Achsenabschnitt, Nullstellen und Polstellen doch am Graphen näherungsweise ablesen können oder nicht?

An der Funktion kannst du bestimmt die Nullstellen des Zählers und des Nenners ohne Rechnung herauslesen können oder?

Comments

Wenn du mal f1(x) nimmst dann kannst du sicher ohne rechnung eine Faktorzerlegung hinbekommen

f1(x) = (x + 1) / (x^2 - 1) = (x + 1) / ((x - 1)·(x + 1))

Das man durch dei Definitionslücke bei x = -1 kürzen kann, sollte man auch sehen

f1(x) = (x + 1) / ((x - 1)·(x + 1)) = 1 / (x - 1)

Und dieses ist die Funktion y = 1/x um eine Einheit nach rechts verschoben.

Achtung diese Überlegungen die ich hier aufgeschrieben habe laufen eigentlich direkt im Kopf ab und brauchen nicht notiert werden.