Wie berechnet man den Mittelwert einer Komplexen Funktion auf einem Kreisweg?

Question

Aufgabe:

Wie berechnet man den Mittelwert einer Komplexen Funktion auf einem Kreisweg?

Problem/Ansatz:

Hallo ich muss zu folgender komplexer Funktion g(z) = \( \frac{(-z)^{s}}{e^{z}-1} \) (s ist dabei eine komplexe Zahl) den Mittelwert auf |z| = k (k eine reelle positive zahl) angeben.

Ich hätte den Kreis parametrisiert mit γ(t):= k\( e^{2πit} \) auf [0,1]

Damit kann ich eventuell das Wegintegral nutzen.

Allerdings weiß ich nicht wie man generell den mittelwert einer komplexen funktion bildet....

ich freu mich auf antworten

Comments

Schau mal hier:
https://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/inhalt/aussage/aussage914/

Answer 1

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Comments

Danke für dein kommentar, darin habe ich aber leider nichts zum mittelwert gefunden ... auch wenn die überschrift das verspricht... hmm

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Hast du mal geschaut, ob \(g\) im Ursprung holomorph ist?
Wenn nicht, könntest du es mit dem Residuensatz versuchen.

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Noch ein Hinweis / Frage: Was versteht man unter \((-z)^s\) wenn s komplex ist?

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also die Potenz ist mit dem Hauptzweig des natürlichen Logarithmus definiert. bedeutet \( (-z)^{s} \) = \( e^{s ln(-z)} \)

Die funktion ist also auf der positiven reelen Halbgeraden einschließlich der Null nicht definiert (@erasmus auch insbesondere im Ursprung nicht holomorph)

Ich gehe also auch davon aus, dass man den Anfang und Endpunkt des Kreisweges ausschließen muss wenn man tatsächlich das Wegintegral bilden möchte. (Wird in meinem Skript zwar nicht explizit gemacht, aber davon gehe ich mal aus)