Aussichtsweite von einem Berg

Question

Aufgabe:  Wie groß ist die Aussichtsweite BC und wie groß das Stück der Erdoberfläche, das man von der Schneekoppe h = 1600 m überblicken kann, wenn die Aussichtsweite BC infolge der atmosphärischen Strahlenbrechung um 8% vergrößert wird ( r = 6370 km, 2 π r = 40.000 km).

Ich kann ε = 1,28° berechnen, auch BC plus Strahlenbrechung. Doch ich kann nur den Schritten I und II der Lösung im Lehrbuch folgen.

Ich bitte um Hilfe, die weiteren zu verstehen:

I. cos ε  = r / (r+h), ε  = 1,28°
II. ε / 360 = BC / 40.000. BC = 145 km, mit Strahlenbrechung 157 km

III. O = 2 π r x
IV. cos ε = (r – x) / r
I/IV. x = r – (r² / ( r + h)) = rh / (r + h)
I/IV/III. O = (2 π r² h) / (r + h)  = 64.022 km², mit Strahlenbrechung 160.531 km

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Ich versuche, meine Fragen zu präzisieren:

Zu III:

Ist hier mit O die Oberfläche der Kugelkappe gemeint?

2 π r ist der Erdumfang oder der Umfang eines Großkreises. x wäre dann der Faktor, mit dem dieser Umfang multipliziert werden muss, um O zu bekommen. In der Zeichnung ist x die Strecke AB, also die Höhe der Kugelkappe. Warum?

Gibt es eine Formel, nach der der Umfang der Kugel multipliziert mit der Höhe ihrer Kappe gleich der Oberfläche der Kappe ist?

Zu I/IV:
Dividiere ich I = r / (r +h) durch IV = (r – x) / r, so bekomme ich r² / (r – x) (r + h).
Wie kann ich daraus x isolieren, um schließlich zu rh / (r + h) zu kommen?

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Dividiere ich I = r / (r +h) durch IV = (r – x) / r,

Gleichsetzen ist einfacher. Siehe meine Antwort.

Answer 1

Ich schreibe mal alle Teile der Aufgabe hin, weil ich der Meinung bin, dass da noch einige Ungenauigkeiten drin sin.

Zu I)

$$\varepsilon = \arccos\left( \frac{r}{r+h} \right) = 1.284052°$$

Zu II)

$$\overline{BC} = U \frac{ \varepsilon}{ 360°} = 142.672 \text{ km}$$ bzw. $$\overline{BC} = U \frac{ \varepsilon}{ 360°} 1.08 = 154.086 \text{ km}$$

Zu III)

Das ist die Formel zur Berechnung der Fläche einer Kugelkappe, s. https://de.wikipedia.org/wiki/Kugelsegment.

Man kann $\varepsilon$ auf zwei verschiedene Arten berechnen, einmal in Abhängigkeit von $r$ und $h$, und einmal in Abhängigkeit von $r$ und $x$.

Durch gleichsetzen der beiden Ausdrücke, bekommt man eine Formel für $x$ in Abhängigkerit von $r$ und $h$. Das ist in der Musterlösung gemacht worden. Dieses gefundene $x$ benötigt man bei der Berechnung der Oberfläche der Kugelkappe, s. den Wikipedia Link. Hier habe ich keine numerischen Ungenauigkeiten gefunden.

Answer 2

Hallo,

ja, O ist (so verstehe ich die Lösung) die Oberfläche der Kugelkappe - also nur der Teil der zur Kugel gehört, nicht der Boden. Die Berechnung mit Hilfe von r und x steht so in den einschlägigen Formelsammlungen. Ob es eher ein Zufall ist, dass das Umfang mal Höhe ist oder ob da ein Zusammenhang besteht, weiß ich nicht. Wenn man die Formel überprüfen will, würde ich zur Integralrechnung greifen.

Wenn Du I / IV bildest, erhältst Du

$$1=\frac{r^2}{(r-x)(r+h)}$$

Das kannst du nach x auflösen, wie angegeben.

Gruß Mathhilf

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Danke sehr! Aber die Auflösung nach x kriege ich nicht hin, kannst du mir helfen?

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Aus

$$1=\frac{r^2}{(r-x)(r+h)}$$

folgt:

$$r-x=\frac{r^2}{r+h} \Rightarrow x=r-\frac{r^2}{r+h}=\frac{r^2+rh-r^2}{r+h} \ldots$$

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Danke! Ich habe nicht daran gedacht, dass man auch die linke ( cos eta-) Seite durch einander dividieren muss, so dass man 1 auf der linken Seite bekommt.Wenn man das nicht tut, bleibt man natürlich im Fortgang der Rechnung stecken. Wieder was dazugelernt! Und auch, dass es nicht eta heißt, sondern epsilon.

Answer 3

Hallo

dass die Oberfläche 2πrx ist, x die Höhe der Kugelkappe kann man in einer Formelsammlung oder Wiki (dort heisst sie Mantelfläche) nachlesen. Ob Ihr diese Formel wissen oder nachschlagen dürft weiss ich nicht. danach ist cos(ε) in der Formel für x durch r/(r+h) ersetzt. und dann die Formel vereinfacht. An welcher Stelle kommst du nicht mit? das Ergebnis mit Strahlenbrechung musst du ε entsprechend ändern.

Gruß lul

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Danke! Das Rätsel beginnt sich zu entschleiern, aber noch scheitere ich an dem Algebra-Problem, in I/IV nach x aufzulösen, also x aus dem Nenner herauszubekommen. Wie macht man das?

Answer 4

zu III: Gibt es eine Formel, ...

Ja.

s. https://de.wikipedia.org/wiki/Kugel#Formeln

Answer 5

Hallo,

O=2πrx ist die Formel für die Mantelfläche der Kugelkalotte. Bei Wikipedia wird h statt x verwendet.

https://de.wikipedia.org/wiki/Kugelsegment

Die Dreiecke CEA und SEC sind rechtwinklig.

cosε = r/(r+h) = (r-x)/r

r²/(r+h)=r-x

x=r - r²/(r+h)

Auf den gleichen Nenner bringen:

x=r•(r+h)/(r+h) - r²/(r+h)

x=(r²+rh-r²)/(r+h)

x=rh/(r+h)

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Danke! Alles klar!