Die Aufgabe ist es, mit vollständiger Induktion 2n > n + 1 für alle natürlichen Zahlen n ≥ 2 zu beweisen.

Question

Text erkannt:

Die Aufgabe ist es, mit vollständiger Induktion \( 2 n>n+1 \) für alle natürlichen Zahlen \( n \geq 2 \) zu beweisen. Vervollständigen Sie die Lücken korrekt.
(IA) Der Induktionsanfang lautet:
(IV) Es gelte für eine natürliche Zahl \( n \geq 2 \)
(IS) Im Induktionsschritt ist die Ungleichung zu zeigen.
Dazu beginnen wir mit der linken Seite der Ungleichung. Die Anwendung der Induktionsvoraussetzung (IV) auf den Term auf der linken Seite liefert im ersten Schritt die Ungleichung \( \square> \)

Answer 1

IA) Der Induktionsanfang lautet: 2*2 > 2 + 1.

IV) Es gelte 2n > n + 1 für eine natürliche Zahl n ≥ 2.

IS) Im Induktionsschritt ist die Ungleichung 2(n + 1) > (n + 1) + 1 zu zeigen.

Dazu beginnen wir mit der linken Seite der Ungleichung. Die Anwendung der Induktionsvoraussetzung (IV) auf den Term auf der linken Seite liefert im ersten Schritt die Ungleichung

2(n + 1) > (n + 1) + 1

2n + 2 > n + 2

(n + 1) + 2 > n + 2

n + 3 > n + 2

Comments

Wie kommt man denn von

2n + 2 > n + 2

auf

(n + 1) + 2 > n + 2

?

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Wie kommt man denn von ...

Die Anwendung der Induktionsvoraussetzung (IV) auf den Term auf der linken Seite liefert ...

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Könntest du das mal vorführen?

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Wo liegt denn dein Verständnisproblem

In der Ungleichung

2n + 2 > n + 2

kann ich doch benutzen das gilt

2n > n + 1 bzw. n + 1 < 2n und damit kann ich auf der linken Seite das 2n nach unten abschätzen und damit für 2n einfach n + 1 einsetzen. Letztendlich habe ich nur das befolgt, was mir laut Aufgabenstellung eh aufgetragen worden war.