Aloha :)
$$I=\int\limits_L\left(xy^2\,dx-x^2y\,dy\right)=\,?\quad;\quad L=\{(x;y)\in\mathbb R^2\,|\,x^2+y^2=a^2\}$$
Die dargestellte Form des Integrals ist sinnvoll, wenn der Weg entlang der Koordinatenachsen führt. Angenommen, es geht von \((x_0|y_0)\) nach \((x_1|y_1)\) entlang der Koordinatenachsen. Dann kann man zunächst nach \(dx\) integrieren und dabei \(y\) festhalten und anschließend über \(dy\) und dabei \(x\) festhalten:$$I=\int\limits_{(x_0|y_0)}^{(x_1|y_1)}\left(f(x;y)\,dx+f(x;y)\,dy\right)$$$$\phantom I=\int\limits_{(x_0|y_0)}^{(x_1|y_0)}\left(f(x;y)\,dx+f(x;y)\,dy\right)+\int\limits_{(x_1|y_0)}^{(x_1|y_1)}\left(f(x;y)\,dx+f(x;y)\,dy\right)$$Im ersten Integral ist \(y=y_0\) konstant und daher \(dy=0\). Im zweiten Integral ist \(x=x_1\) konstant und daher \(dx=0\). Daher kannst du das umformen zu:$$\phantom I=\int\limits_{x_0}^{x_1}f(x;y_0)\,dx+\int\limits_{y_0}^{y_1}f(x_1;y)\,dy$$
In deinem konkreten Fall hier führt diese Methode aber nicht zum Ziel, da der Weg ein Kreis mit Radius \(a\) ist. Wir laufen also nicht entlang der Koordinatenachsen. Stattdessen bietet es sich an, einen Ortsvektor \(\vec r\) aufzustellen, der ausgehend vom Ursprung alle Punkte des Weges abtastet. Dafür bieten sich Polarkoordinaten an:$$\vec r=\binom{x}{y}=\binom{a\cos\varphi}{a\sin\varphi}\quad;\quad\varphi\in[0;2\pi]$$
Damit lässt sich das Integral nun wie folgt berechnen:$$I=\int\limits_L\left(xy^2\,dx-x^2y\,dy\right)=\int\limits_L\binom{xy^2}{-x^2y}\cdot\binom{dx}{dy}=\int\limits_L\binom{xy^2}{-x^2y}\,d\vec r$$$$\phantom I=\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\binom{x(\varphi)y^2(\varphi)}{-x^2(\varphi)y(\varphi)}\,\frac{d\vec r}{d\varphi}\,d\varphi=\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\binom{a\cos\varphi\cdot(a\sin\varphi)^2}{-(a\cos\varphi)^2\cdot a\sin\varphi}\cdot\binom{-a\sin\varphi}{a\cos\varphi}\,d\varphi$$$$\phantom I=\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\left(-a^4\cos\varphi\sin^3\varphi-a^4\cos^3\varphi\sin\varphi\right)\,d\varphi=\left[-\frac{a^4}{4}\sin^4\varphi+\frac{a^4}{4}\cos^4\varphi\right]_{\varphi=0}^{2\pi}=0$$
