muss vor dem sinus kein - stehen?

Question

Aufgabe:

Trigonometrie komplimentärwinkel

Problem/Ansatz:

Hallo,

meine Frage:

Text erkannt:

\( \cos ^{2}\left[\frac{3 \pi}{2}-\frac{3(A+B)}{2}\right]=\sin ^{2} \frac{3(A+B)}{2} \)

muss vor dem sinus kein - stehen? Weil es ist ja 3Pi/2 und nicht Pi/2

Text erkannt:

\( \frac{3 \pi}{2} \)

anscheinend ist es ja so wie hier:

ist es also dasselbe wenn Pi/2 oder 3Pi/2 da steht?

Text erkannt:

\( \cos \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\sin (\alpha) \)

Comments

Der Wert wird doch quadriert.

Answer 1

Aloha :)

Die Cosinus-Funktion ist \(2\pi\)-periodisch, also gilt \(\cos(x\pm2\pi)=\cos(x)\):$$\phantom=\cos\left(\frac{3\pi}{2}-\frac{3(A+B)}{2}\right)=\cos\left(\frac{3\pi}{2}-\frac{3(A+B)}{2}\pink{-2\pi}\right)=\cos\left(-\frac{\pi}{2}-\frac{3(A+B)}{2}\right)$$

Die Cosinus-Funktion ist gerade, also gilt \(\cos(-x)=\cos(x)\):$$=\cos\left(\frac{\pi}{2}+\frac{3(A+B)}{2}\right)$$

Die Cosinus-Funktion ist der Sinus des Complementär-Winkels, also gilt \(\cos(x)=\sin(\frac{\pi}{2}-x)\):$$=\sin\left(\frac\pi2-\left(\frac{\pi}{2}+\frac{3(A+B)}{2}\right)\right)=\sin\left(-\frac{3(A+B)}{2}\right)$$

Die Sinus-Funktion ist ungerade, also gilt \(\sin(-x)=-\sin(x)\):$$=-\sin\left(\frac{3(A+B)}{2}\right)$$

Beim Quadrieren fällt das Minus-Zeichen weg:$$\cos^2\left(\frac{3\pi}{2}-\frac{3(A+B)}{2}\right)=\left(-\sin\left(\frac{3(A+B)}{2}\right)\right)^2=\sin^2\left(\frac{3(A+B)}{2}\right)$$

Answer 2

Es steht doch dort auch Sinus und Kosinus zum Quadrat und nicht nur Sinus und Kosinus und dort gilt eben auch

\( \cos ^{2}\left(\frac{3}{2} \pi-x\right)=\sin ^{2}(x) \)

Answer 3

Es gilt $$ \cos(a-b) = \cos(a) \cos(b) + \sin(a) \sin(b) $$ Mit \( a = \frac{3}{2} \pi \) und \( b = \frac{3}{2} (A+B) \) folgt

$$ \cos\left( \frac{3}{2} \pi - \frac{3}{2} (A+B)  \right) = \cos\left( \frac{3}{2} \pi \right) \cos\left( \frac{3}{2} (A+B) \right)  + \sin\left( \frac{3}{2} \pi \right) \sin\left( \frac{3}{2} (A+B) \right)  $$

Daruas folgt

$$ \cos\left( \frac{3}{2} \pi - \frac{3}{2} (A+B)  \right) = -\sin\left( \frac{3}{2} (A+B) \right)  $$

Also

$$  \cos^2\left( \frac{3}{2} \pi - \frac{3}{2} (A+B)  \right) = \sin^2\left( \frac{3}{2} (A+B) \right) $$