Kann mit jemand erklären bzw vorrechnen, wie man die folgende Gleichung lösen kann und wie kommt man auf x^2 …

Question

Aufgabe:

Kann mit jemand bitte erklären bzw. vorrechnen, wie man die folgende Gleichung lösen kann und wie kommt man auf x^2 +xy - y^2?

\( =-5+(0,-5) \cdot\left(\begin{array}{l}x+1 \\ y-2\end{array}\right)+\frac{1}{2} \cdot(x+1, y-2)\left(\begin{array}{cc}2 & 1 \\ 1 & -2\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{l}x+1 \\ y-2\end{array}\right) \)
\( =\cdots=x^{2}+x y-y^{2} \)

Comments

vorrechnen, wie man die folgende Gleichung lösen kann

Willst Du stattdessen vielleicht einen Term ausrechnen?

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Was meinen Sie genau?

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Das was ich geschrieben hatte.

Answer 1

$$ a) \quad \begin{pmatrix} 0 & -5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x+1 \\ y - 2 \end{pmatrix} = -5 (y - 2) $$

$$ b) \quad \frac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} x+1 & y-2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x+1 \\ y - 2 \end{pmatrix} = \\ \frac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} 2x+2+ y-2 & x+1 -2y +4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x+1 \\ y - 2 \end{pmatrix}  = \\ \frac{1}{2} \cdot \left[  (2x+y)(x+1) + (x-2y+5)(y-2)  \right] = \\ \frac{1}{2} \cdot ( 2x^2 + 2x +xy+y +xy - 2x -2y^2 +4y +5y -10 ) = \\ x^2 +xy -y^2 +5y - 5 $$

Und alles zusammengesetzt ergibt

$$ -5 -5y +10 +x^2 +xy-y^2+5y-5 = x^2 +xy -y^2 $$

Comments

Vielen lieben Dank. Das war sehr hilfreich :)

Answer 2

Es geht um den Term

\(-5+(0,-5) \cdot\left(\begin{array}{l}x+1 \\ y-2\end{array}\right)+\frac{1}{2} \cdot(x+1, y-2)\left(\begin{array}{cc}2 & 1 \\ 1 & -2\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{l}x+1 \\ y-2\end{array}\right) \)

Beim Ausrechnen musst du bei den Vektoren und der Matrix immer nach dem Mott0

"Zeile mal Spalte" vorgehen, gibt also am Anfang des Terms

Zeilenvektor mal Spaltenvektor gibt ne Zahl

\(=-5+(0 \cdot (x+1)  -5 \cdot (y-2) +\frac{1}{2} \cdot(x+1, y-2)\left(\begin{array}{cc}2 & 1 \\ 1 & -2\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{l}x+1 \\ y-2\end{array}\right) \)

Und dann würde ich hinten mit

Matrix mal Spaltenvektor beginnen, das gibt einen Spaltenvektor

\(=-5+(0 \cdot (x+1)  -5 \cdot (y-2) +\frac{1}{2} \cdot(x+1, y-2) \cdot \left(\begin{array}{l}2(x+1)+1(y-2) \\ 1(x+1)-2(y-2)\end{array}\right) \)

Und jetzt mal was vereinfachen

\(=-5  -5y +10 +\frac{1}{2} \cdot(x+1, y-2) \cdot \left(\begin{array}{l}2x+y \\ x-2y+5\end{array}\right) \)

Jetzt wieder Zeile mal Spalte

\(=-5  -5y +10 +\frac{1}{2} \cdot((x+1)(2x+y) +(y-2)(x-2y+5)) \)

\(= -5y +5 +\frac{1}{2} \cdot((2x^2+2x+xy+y) +(xy-2y^2+5y-2x+4y-10) \)

\(=  -5y +5  +\frac{1}{2} \cdot(2x^2+2xy+10y-2y^2-10) \)

\(=  -5y +5  +x^2+xy+5y-y^2-5 \)

\(=  x^2+xy-y^2 \)

Comments

Ich hab es perfekt verstanden. Danke danke danke :)