Prüfe, ob die folgende Menge ein Vektorraum definiert

Question

Aufgabe:

Entscheide, ob die Menge ein Vektorraum ist.

Text erkannt:

\( r \cdot\left[\begin{array}{c}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ \vdots \\ x_{n}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}x_{3} \\ x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n}\end{array}\right] \quad\left(r, x_{1}, x_{2}, x_{3}, \ldots, x_{n} \in \mathbb{R}\right) \)

Comments

Fehlt da nicht die Angabe, was die Menge ist und wie die Verknüpfungen definiert sind?

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Ein VR benötigt immer auch eine Addition .

Das andere interpretiere ich so:

Für alle r∈ℝ und x∈ℝ^n gilt

\(r \cdot\left[\begin{array}{c}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ \vdots \\ x_{n}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}x_{3} \\ x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n}\end{array}\right] \quad\left(r, x_{1}, x_{2}, x_{3}, \ldots, x_{n} \in \mathbb{R}\right) \)

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Hier wurde nicht-standard Skalarmultiplikation definiert. Ich nehme an, dass dies die Voraussetzungen von einem Vektorraum nicht erfüllen kann, weil das Produkt von 1 mit dem Vektor nicht dasselbe Vektor ergibt. Was denkt ihr darüber?

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Um welche Menge handelt es sich?

Etwa zu einem \(r\in\mathbb{R}\)

die Menge

\(\{(x_1,\cdots,x_n)^T\in \mathbb{R}^n:\; r\cdot(x_1,x_2,x_3,\cdots, x_n)^T=(x_3,x_1,x_2,\cdots, x_n)^T\}\) ?

Answer 1

Ich nehme an, dass dies die Voraussetzungen von einem Vektorraum nicht erfüllen kann, weil das Produkt von 1 mit dem Vektor nicht denselben Vektor ergibt.

Das ist wohl richtig !

Comments

@ mathef: Da Du eine Antwort gegeben hast: Mich  würde doch interessieren, was wohl die Aufgabe war?

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Habe es so interpretiert:

Kann R^n mit der so definierten S-Multiplikation ...

zu einem VR gemacht werden ?

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Das wäre ja denn - um es mal diplomatisch zu sagen - eine sehr einfache Frage.

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Fand ich auch.