Alternative zu Epsilon Delta Kriterium

Question

Aufgabe:Stetigkeit einer Funktion im R^n

…

Problem/Ansatz:Zu untersuchen auf Stetigkeit in (0,0)   für $$ (x^3 + y^3)/(x^2 + y^2)  $$ mit f(0,0) = 0

In der Musterlösung wir das Epsilon Delta kriterium verwendet, dass mir aber Schwierigkeiten macht, gibt es dazu die Möglichkeit mit Abschätzen die Stetigkeit zu bestimmen ?

Answer 1

Aloha :)

Du musst ja zeigen, dass der Grenzwert von \(f(x;y)\) für alle möglichen Wege \((x;y)\to(0;0)\) gleich \(f(0;0)\) ist. Das kann man z.B. durch den Übergang zu Polarkoordinaten machen:$$\binom{x}{y}=\binom{r\cos\varphi}{r\sin\varphi}\quad;\quad r\in[0;\infty)\;;\;\varphi\in[0;2\pi]$$Alle möglichen Richtungen werden durch die freie Wahl von \(\varphi\) abgedeckt. Indem du aber den Radius \(r\to0\) gehen lässt, ziehst du den Kreis um \((0;0)\) immer enger. Anstatt den Grenzwert für \((x;y)\to(0;0)\) zu bestimmen, kannst du dann den Grenzwert für \(r\to0\) betrachten.

$$\phantom=\lim\limits_{(x;y)\to(0;0)}\frac{x^3+y^3}{x^2+y^2}=\lim\limits_{r\to0}\frac{r^3\cos^3\varphi+r^3\sin^3\varphi}{r^2\cos^2\varphi+r^2\sin^2\varphi}=\lim\limits_{r\to0}\frac{r^3(\cos^3\varphi+\sin^3\varphi)}{r^2}$$$$=\lim\limits_{r\to0}\left(r(\cos^3\varphi+\sin^3\varphi)\right)=0\stackrel{\checkmark}{=}f(0;0)$$

Answer 2

Hallo

am einfachsten hier ist das in Polarkoordinaten zu machen und r gegen 0 muss unabhängig vom Winkel sein. Stetigkeit kannst du allerdings nur zeigen wenn f(0,0)=0 definiert ist.

Folgenstetigkeit ist schwierig, da es ja für ALLE  Nullfolgen konvergieren muss. Was du mit "Abschätzung meinst ist mir nicht klar, wenn nicht Epsilon Delta Kriterium.

sonst sag, was dir an der Musterlösung unklar ist.

Gruß lull

Comments

Mit Abschätzen meine ich folgendes

0 =<  | x^3 + y^3 / y^2 + x^2|  =<   | x^3| + |y^3| / x^2  =< |x^3| +  |y^3|

Wenn ich dann x und y durch eine beliebe nullfolge Xn Yn ersetze dann geht für Xn und Yn für n -> unendlich gegen 0 und |Xn^3| + |Yn^3| =< 0

mit dem einschnürrungsatz wäre dann der Grenzwert 0 und die funktion stetig on 0

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Hallo

wie kommst du denn auf | x^3| + |y^3| / x^2  =< |x^3| +  |y^3|

lul

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Eine Zahl wird größer wenn ich den Nenner kleiner mache, analog dazu wenn ich den Nenner weglasse dann wird die Zahl größer