Bei Expoentialreihe n durch n-1 austauschen, gleicher Reihenwert?

Question

Sei die Funktionenfolge \(f_n(x)=\frac{x^n}{n!}\). Die "Ableitungsfolge" ist \(f'_n(x)=\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}\)

Ist Folgendes richtig?

\(\exp (x) =\sum \limits_{n=0}^{\infty}f_n(x)=\sum \limits_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}=\sum \limits_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}=\sum \limits_{n=0}^{\infty}f'_n(x)= \exp ' (x)\)

Ich bin dabei davon ausgegangen, dass es bei

\(\sum \limits_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}=\exp (x)\)

egal ist, ob in der Summe \(\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}\) steht oder \(\frac{x^{n}}{n!}\), wenn \(n\) unendlich groß wird.

Answer 1

$$(e^x)'=(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!})'=(1+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n!})'=1'+\sum_{n=1}^{\infty}(\frac{x^n}{n!})'=0+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{nx^{n-1}}{n!}=\\=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^k}{k!}=e^x$$Hier wurde \(k=n-1\) gesetzt.

Comments

Danke :)

Das ergibt Sinn für mich: Da die Reihe unendlich viele Glieder besitzt, veränderst du durch die Indexverschiebung nicht den eigentlichen Wert.

Ich bin nicht auf die Idee gekommen, einfach k=n-1 zu setzen und den Startwert anzupassen.

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Da die Reihe unendlich viele Glieder besitzt, veränderst du durch die Indexverschiebung nicht den eigentlichen Wert.

Das ist nur hier der Fall und nicht allgemein der Fall.

Beispiel

Σ (n = 1 bis ∞) q^n ≠ Σ (n = 0 bis ∞) q^n für 0 < q < 1

Auch wenn beide Summen unendlich viele Glieder besitzen ist die Summe dennoch nicht gleich.

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Guter Punkt, man sollte entsprechend die ersten Reihenglieder mal aufschreiben oder so.

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veränderst du durch die Indexverschiebung nicht den eigentlichen Wert.

Ich habe den Index nicht verschoben, sondern nur umbenannt.

Answer 2

Im Unendlichen spielt das keine Rolle, allerdings kommt bei dir ja offenlistlich ein zusätzlicher Term x^{-1} / (-1)! hinzu.

Du weißt aber das dieses eigentlich die Ableitung zu x^0 sein soll und damit 0 sein sollte.

Comments

Danke für die Antwort :)

Da der Term x^-1 / (-1)! hinzukommt, aber (-1)! nicht definiert ist, wäre die Reihe

\(\sum \limits_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}\) nicht definiert .

\(\sum \limits_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}=\sum \limits_{n=0}^{\infty}\frac{nx^{n-1}}{n!}\)

So wäre die Reihe zwar definiert, aber ist ungleich der Exponentialreihe.

Das verstehe ich nicht:

Du weißt aber das dieses eigentlich die Ableitung zu x⁰ sein soll und damit 0 sein sollte.

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Nur weil du die Reihe anders schreibst bleibt es doch die Exponentialreihe. Sie sieht dann zwar anders aus aber bleibt doch gleich.

Welchen Wert hat x^0 für x ≠ 0 und was ist davon die Ableitung.

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x⁰=1 für alle x ≠ 0 und die Ableitung von x⁰=1 ist null.

Sry, Ich sehe den Zusammenhang nicht :(

Es geht darum, ob im obigen Fall gilt:

\((\sum \limits_{n=0}^{\infty}f_n(x) )'=\sum \limits_{n=0}^{\infty}f'_n(x)\)

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Ja. weil

= ∑ (n = 0 bis ∞) (x^n / n!)

= 0 + ∑ (n = 1 bis ∞) (x^(n - 1) / (n - 1)!)

mit x^(-1) / (-1)! = 0

= x^(-1) / (-1)! + ∑ (n = 1 bis ∞) (x^(n - 1) / (n - 1)!)

= ∑ (n = 0 bis ∞) (x^(n - 1) / (n - 1)!)

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x^(-1) / (-1)! = 0 kann ich nicht akzeptieren, die negative Fakultät ist nicht definiert, da bin ich mir ziemlich sicher, deswegen ist das x^(-1) / (-1)! + ∑ (n = 1 bis ∞) (x^(n - 1) / (n - 1)!) für mich kein gültiger mathematischer Ausdruck

Trotzdem Danke :)

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Du hattest es selber doch anders aufgeschrieben

x^(n - 1) / (n - 1)! = n * x^(n - 1) / n!

Also

x^(0 - 1) / (0 - 1)! = 0 * x^(0 - 1) / 0! = 0

Wie gesagt habe ich auch zu Anfang erklärt, dass der Term ja nur durch die Ableitung von x^0 zustande kommt.

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Okay, verstehe jetzt, wie du es gemeint hast :)