Grenzwertbetrachtung wenn x gegen pi läuft

Question

Aufgabe:

Grenzwertbetrachtung

\(\displaystyle \lim \limits_{x \rightarrow \pi} \frac{1+\cos x}{(x-\pi)^{2}} \)

Problem/Ansatz:

Ich habe leider keine Ahnung, wie ich diese Aufgabe angehen soll.

Answer 1

Kennst du die Hospital-Regel?

Comments

Ja, aber der Zähler strebt doch nach einem endlichen Wert, dann darf ich diese Regel doch nicht anwenden oder?

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Ja, aber der Zähler strebt doch nach einem endlichen Wert, dann darf ich diese Regel doch nicht anwenden oder?

Gegen welchen endlichen Wert strebt denn der Zähler und der Nenner?

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Hatte einen Denkfehler. "-1 ist die Antwort, wodurch der Zähler ebenfalls 0 wird, vielen dank

Answer 2

Hallo,

Lösung durch Regel von L'Hospital , falls bekannt.(Ausdruck 0/0)

Zähler und Nenner getrennt ableiten:(2 Mal), solange bis es nicht mehr den Ausdruck 0/0 gibt.

=lim(x-->π)  (-sin(x) /(2x-2π)  ----->0/0

=lim(x-->π)  (-cos(x) /(2)  ----->1/2

Lösung: 1/2

Answer 3

Lösung mit Taylor-Reihe:

Die Taylor-Reihe von \(\cos(x)\) mit Entwicklungspunkt \(\pi\) ist

\(\cos(x)=-1+\frac{1}{2}(x-\pi)^2\pm(x-\pi)^4\cdot h(x)\) mit einer in \(\pi\) stetigen

Funktion \(h\).

Das liefert \(\frac{1+\cos(x)}{(x-\pi)^2}=\frac{1}{2}\pm(x-\pi)^2h(x)\rightarrow \frac{1}{2}\)

für \(x\rightarrow \pi\).