Beweis zum homogenen linearen Gleichungssystem

Question

Problem/Ansatz: Ich habe leider keine Idee wie ich mit dem Beweis starten soll, kann mir bitte jemand Starthilfe geben? Danke!

Ich denke den ersten Teil werde ich über den Satz des Nullproduktes beweisen können? Bei der Summe der 2 Ergebnisse bin ich verloren.

Text erkannt:

\( 12 \mathrm{Ma} 2 \), Mathematik.
07.09.2022
AB: Struktur der Lösungsmenge linearer Gleichungssysteme
Aufgabe I:
Die Aufgaben (2) und (3) lassen sich zu den folgenden beiden Sätzen verallgemeinern:
Satz 1:
Bei einem homogenen linearen Gleichungssystem gilt:
(1) Jedes Vielfache \( \left(r \cdot u_{1} ; r \cdot u_{2} ; \ldots ; r \cdot u_{n}\right) \) einer Lösung \( \left(u_{1} ; u_{2} ; \ldots ; u_{n}\right) \) ist wieder eine Lösung.
(2) Die Summe \( \left(u_{1}+v_{1} ; u_{2}+v_{2} ; \ldots ; u_{n}+v_{n}\right) \) zweier Lösungen \( \left(u_{1} ; u_{2} ; \ldots ; u_{n}\right) \) und \( \left(v_{1} ; v_{2} ; \ldots ; v_{n}\right) \) ist wieder eine Lösung.
Satz 2:
Bei einem inhomogenen LGS mit einer Lösung \( \left(x_{1}^{*} ; x_{2}^{*} ; \ldots ; x_{n}^{*}\right) \) erhält man alle Lösungen, indem \( \operatorname{man}\left(x_{1}^{*} ; x_{2}^{*} ; \ldots ; x_{n}^{*}\right) \) zu jeder Lösung \( \left(u_{1} ; u_{2} ; \ldots ; u_{n}\right) \) des zugehörigen homogenen LGS addiert.
Aufgabe II:
Beweisen Sie Satz 1. (Tipp; Beachten Sie, dass jede Gleichung des homogenen LGS von folgender Form ist: \( a_{k 1} x_{1}+a_{k 2} x_{2}+\ldots+a_{k n} x_{n}=0 \), mit \( \mathrm{k} \) als Angabe der Zeile.)

Comments

Ich denke den ersten Teil werde ich über den Satz des Nullproduktes beweisen können? Bei der Summe der 2 Ergebnisse bin ich verloren.

Natürlich bist du verloren! Du hast ja nicht einmal versucht, zwei Lösungen dieses Gleichungssystems zu finden.

Erst wenn du zwei Lösungen hast, kannst du diese addieren und das Ergebnis überprüfen.

Und was du mit dem Satz vom Nullrodukt willst, weiß ich auch nicht.

Du sollst das erste Gleichungssystem einfach nur lösen. Wenn du die (einzige) Lösung hast, dann schau sie dir an. Falls es die Lösung x=0, y=0, z=0 ist, hast du den Nachweis geführt.

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Du hast zwei Lösungen (a,b,c) und (d,e,f). Dann gilt für das Gls.

$$\lambda_1\cdot a+\lambda_2\cdot b+\lambda_3\cdot c=0$$

$$\lambda_1\cdot d+\lambda_2\cdot e+\lambda_3\cdot f=0$$

addiert man beide Gleichungen erhält man:

$$\lambda_1\cdot (a+d)+\lambda_2\cdot (b+e)+\lambda_3\cdot (c+f)=0$$

also löst ((a+d), (b+e), (c+f)) auch das Gleichungssystem und ist somit wieder Element des Kerns.

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Du hast zwei Lösungen (a,b,c) und (d,e,f). Dann gilt für das Gls.

Ich glaube nicht, dass er zwei Lösungen hat. Bis jetzt hat er keine (bis er durch Angabe zweier Lösungen den Gegenbeweis angetreten hat).

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Das Dateiformat kann ich auf meinem Tablet nicht öffnen...

Answer 1

Hallo

alle Aufgaben mit der Gausschen Additionsmethode lösen

bei 2, kannst du eine Variable willkürlich wählen 2 und 3 kannst du fast gleichzeitig lösen mit den 2 verschiedenen rechten Seiten.

Alles andere ergibt sich wenn du die Lösungen hast.

Gruß lul

Answer 2

1.

x + 2·y + 3·z = 0
-x + y + 2·z = 0
x - 3·y + z = 0

I + II ; III + II

3·y + 5·z = 0
- 2·y + 3·z = 0

2*I + 3*II

19·z = 0 → z = 0 → y = 0 → x = 0