Wie groß ist der Abstand a der Schnittebene von der Kegelspitze?

Question

Text erkannt:

5) Ein gerader Kreiskegel soll durch einen Schnitt parallel zur Grundfläche in zwei Körper mit gleichem Volumen geteilt werden. Wie groß ist der Abstand a der Schnittebene von der Kegelspitze für \( \mathrm{H}=35 \mathrm{~cm} \) und \( \mathrm{R}=15 \mathrm{~cm} \) (siehe nebenstehende Skizze)?
\( a=27,78 \mathrm{~cm} \)

Aufgabe:

WIe lang ist a ?

Answer 1

Aloha :)

Das Volumen des ganzen Kegels lautet:$$V=\frac13\pi R^2H$$

Der Radius des kleinen, oberen Kegels beträgt \(r=\frac aHR\), damit beträgt das Volumen des oberen Kegels:$$v=\frac13\pi r^2a=\frac13\pi\left(\frac aHR\right)^2a=\frac13\pi\frac{a^3R^2}{H^2}$$

Das Volumen des oberen Kegels soll die Hälfte vom Volumen des gesamten Kegels betragen:$$v=\frac12V\quad\bigg|\text{einsetzen}$$$$\pink{\frac13\pi}\frac{a^3\pink{R^2}}{H^2}=\frac12\cdot\pink{\frac13\pi R^2}H\quad\bigg|\text{gleiche Faktoren streichen}$$$$\frac{a^3}{H^2}=\frac12H\quad\bigg|\cdot H^2$$$$a^3=\frac12H^3\quad\bigg|\sqrt[3]{\cdots}$$$$a=\frac{1}{\sqrt[3]2}H\approx27,78\,\mathrm{cm}$$

Comments

Wie bist du auf den Radius des kleinen, oberen Kegels gekommen ?

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Es gilt der Strahlensatz.

r_klein : a = R_groß : h.

Answer 2

Betrachtet man eine zentrische Streckung mit dem Faktor k dann ändern sich Längen mit dem Faktor k, Flächen mit dem Faktor k^2 und Volumen mit dem Faktor k^3.

Wir nutzen dies um die Länge a zu bestimmen:

a = ³√(1/2)·H = 27.77951840

Answer 3

WIe lang ist a ?

Du hast es ja schon unten an der Aufgabe hingeschrieben.