Question

Schreiben Sie alle normierten Polynomevom Grad 2 in Z₄ [x] das von f erzeugte Ideal.

Können Sie mir bitte diese Aufgabe mit Erklärung vorrechnen. Ich versuche diese Aufgabe zu lösen, weil ich nächste Woche eine Klausur schreibe.

Comments

Schreiben Sie alle normierten Polynome vom Grad 2 in Z4 [x] das von f erzeugte Ideal.

Dieser Satz gibt keinen Sinn.

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Schreiben Sie alle normierten Polynome vom Grad höchstens 3 in Z₃[x] hin. Unterschtreichen Sie die reduzible Polynome.

So muss es sein

Answer 1

Die Polynome habe die Gestalt

Polynome 0-ten Grades: 1

Polynome 1-ten Grades: \(x+a\) (3 Stück)

Polynome 2-ten Grades: \(x^2+ax+b\) (3 mal 3 = 9 Stück)

Polynome 3-ten Grades: \(x^3+ax^2+bx+c\) (3 mal 3 mal 3 = 27 Stück)

Für Polynome p höchstens 3-ten Grades gilt:

p ist reduzibel genau dann, wenn p eine Nullstelle im Koeffizientenkörper hat.

Comments

Was meinst du mit 3 stück, 9 stück usw.? Kannst du es auch bitte hinschreiben?

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\(x=x+0, x+1, x+2\) sind 3 Polynome.

\(x^2, x^2+1, x^2+2, x^2+x, x^2+2x, x^2+x+1, \)

\(x^2+x+2, x^2+2x+1,x^2+2x+2\) sind

\(3\times 3=9\) Polynome, ...

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Kannst du auch mir bei 27 stück zeigen? Ich werde sehr sehr sehr dankbar.

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Das werde ich nicht tun. Du kannst selbst sehr wohl

alle 27 Möglichkeiten bei \(p=x^3+ax^2+bx+c\) für \(a,b,c \in\{0,1,2\} \)

hinschreiben.

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Ich weiß es jetzt, wie das genau geht. Dankeschön :)

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Noch ein Tipp:

die Polynome ohne Absolutglied haben alle die Nullstelle 0,

sind also reduzibel. Aber unter den Polynomen gibt es noch

viele andere, die eine Nullstelle besitzen, also reduzibel sind,

z.B. \(x^2+2x+1\) hat die Nullstelle 2.