Geben Sie eine Funktionsgleichung dieser Funktionenschar an.

Question

Aufgabe:

Geben Sie eine Funktionsgleichung dieser Funktionenschar v_k an.

Gegeben sei die Funktion \( j \) mit der Gleichung \( j(x)=3 \cdot e^{-(x-2)} \cdot(x-2)^{2}, x \in \mathbb{R} \). Der Graph dieser Funktion ist die Ortskurve der Wendepunkte einer weiteren Funktionenschar \( v_{k} \) mit \( k \in I R \).
Geben Sie eine Funktionsgleichung dieser Funktionenschar \( v_{k} \) an.

Problem/Ansatz:

also mein ansatz war, die 2. ableitung einer funktion mit 0 gleichzusetzen. dafür habe ich einfach 0=x-a genommen. jetzt dachte ich, dass ich einfach nur weiter aufleiten muss... aber das geht nicht auf. ..

Answer 1

"Gegeben sei die Funktion \( j \) mit der Gleichung \( j(x)=3 \cdot e^{-(x-2)} \cdot(x-2)^{2}, x \in \mathbb{R} \). Der Graph dieser Funktion ist die Ortskurve der Wendepunkte einer weiteren Funktionenschar \( v_{k} \) mit \( k \in I R \). Geben Sie eine Funktionsgleichung dieser Funktionenschar \( v_{k} \) an."

\( j(x)=3 \cdot e^{-(x-2)} \cdot(x-2)^{2}, x \in \mathbb{R} \)

Wendepunkt bei: \(x=1\)       \( j(1)=3 \cdot e^{-(1-2)} \cdot(1-2)^{2}=3*e\)

\(f(x)=a*x^3+b*x^2+c*x+d\)

\(f(1)=a+b+c+d\)

1.)\(a+b+c+d=3*e\)

\(f´(x)=3a*x^2+2b*x+c\)

\(f´´(x)=6a*x+2b\)

\(f´´(1)=6a+2b\)

2.) \(6a+2b=0\)        \(b=-3a\)       \(a-3a+c+d=3e\)          \(d=3e+2a-c \)

\(f(x)=a*x^3-3a*x^2+c*x+3*2,718+2a-c\)

Comments

Deine Lösung ist falsch, denn deine Ortskurve besteht nur aus einem einzigen Punkt.

Also einfacher ohne Rechnung :

Für jede Funktion f mit einem Wendepunkt W = (p | q)  liefert die Funktionenschar {v_k} mit v_k(x) = f(x+p-k) + j(k)-q eine Lösung.

---

Ich komme damit nicht klar. Stelle bitte eine Antwort ein, die Klarheit verschafft.

---

Beispiel :
Mit der Funktion f gegeben durch f(x) = x·e^2-x erhält man nach dem angegebenen Konstruktionsverfahren die Funktionenschar {v_t} mit v_t(x) = (x+t)*e^2-(x+t)+3e^t·t²-2
(Zur Schreibvereinfachung habe ich 2-k = t gesetzt)

---

Danke dir, werde es mal durchdenken.

---

Es steckt doch letztlich nicht mehr dahinter, als den Graphen von f so zu verschieben, dass der Wendepunkt W = (p | q)  schließlich im Punkt (k | j(k)) auf dem Graphen von j landet.