Die Lösung über den Pythagoras - also aus \(\left(R/2\right)^2+x^2 = (R-x)^2\) im grün markierem Dreieck das \(x\) berechnen - ist ein wenig langweilig. Es gibt Alternativen:
Ich betrachte dazu alle(!) im folgenden grün markierten Kreise, die den Kreis um \(A\) innen und die Gerade durch \(AB\) von oben berühren:
https://www.desmos.com/calculator/kbsgyjdrdg
Die beiden Strecken, die sich jeweils aus dem gelben und dem schwarzen Streckenabschnitt zusamen setzen, sind konstant \(=|AB|=R\) und gleich lang. Also sind auch die beiden gelben Strecken gleich lang, nämlich \(R-x\), wenn man mit \(x\) jeweils den Radius eines grünen Kreises bezeichnet.
Daraus folgt, dass die Mittelpunke \(M\) aller grünen Kreise sich auf einem Parabelbogen befinden, da der Mittelpunkt vom Punkt \(A\) und von der Parallelen (blau gestrichelt) zu \(AB\) immer den gleichen Abstand hat (s. Definition einer Parabel).
Der Scheitelpunkt der Parabel liegt im Punkt \(S\). Eine Parabel 'wächst' stets qudratisch daher muss die rote Strecke bzw. Auslenkung der Parabel auf der Hälfte zwischen den Punkten \(S\) und \(B\) 1/4 der Strecke beim Punkt \(B\) betragen.
Folglich ist der Wert für \(x\) an der gesuchten Stelle$$x = \frac R2 - \frac14 \cdot \frac R2 = \frac 38 R = 6 \quad\quad R = |AB| = 16$$
