Wie bestimmt man den Eigenraum zu einem Eigenwert

Question

Aufgabe:

Gegeben sei folgende matrix

(1/7) * ( 3 2 6

        -6 3 2

        2  6 -3)

Wie bestimmt man den Eigenraum zu einem Eigenwert

Problem/Ansatz:

Ich weiß,, dass -1 ein ew ist, aber wie bestimme ich nun den eigenraum? Irgendwie scheitere ich bei der rechnung an dem 1/7. kann ich das 1/7 bei der rechnung vernachlässigen oder wie mach ich das am besten?

Answer 1

Du hast ausgehend von

\(A -{\lambda}E \, :=  \, \left(\begin{array}{rrr}-\lambda + \frac{3}{7}&\frac{2}{7}&\frac{6}{7}\\\frac{-6}{7}&-\lambda + \frac{3}{7}&\frac{2}{7}\\\frac{2}{7}&\frac{6}{7}&-\lambda - \frac{3}{7}\\\end{array}\right)\)

die Determinante und zumindest einen EW berechnet und setzt den ein

\(\left(\begin{array}{rrrr}\lambda=&-1:&\left(\begin{array}{rrr}\frac{10}{7}&\frac{2}{7}&\frac{6}{7}\\\frac{-6}{7}&\frac{10}{7}&\frac{2}{7}\\\frac{2}{7}&\frac{6}{7}&\frac{4}{7}\\\end{array}\right)&\left(\begin{array}{r}x1\\x2\\x3\\\end{array}\right) = 0\\\end{array}\right)\)

und löst das LGS:

===> \(\left(\begin{array}{r}\frac{-1}{2} \; x3\\\frac{-1}{2} \; x3\\x3\\\end{array}\right) = 0\)

x3=beliebig ≠0, sagen wir x3=1 ist ein Basisvektor des Eigenraums zu λ=-1

Comments

gibt es irgedwie einen "Trick", die brüche rauszubekommen?

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gibt es irgedwie einen "Trick", die brüche rauszubekommen?

Ja. Man multipliziert lieber erst gar nicht aus.

Wenn -1 ein Eigenwert ist müsstest du ihn ja auch nur mit 7 Multiplizieren. Also löse

Ich komme dabei auf: x = - 0.5·z ∧ y = - 0.5·z

Das ist jetzt genau das, was wächter angegeben hat.

Answer 2

kann ich das 1/7 bei der rechnung vernachlässigen oder wie mach ich das am besten?

Für einen Eigenwert \(\lambda\) und zugehörigen Eigenvektor \(v\) gilt

\(A\cdot v=\lambda \cdot v \iff (7A)\cdot v = (7\lambda)\cdot v\), daher

\(Eig(A,-1)=Eig(7A,-7)\).

Also kannst du zur Bestimmung des Eigenraums zu -1  den Kern von \(7A+7E\) berechnen.

Das (normierte) charakteristische Polynom von \(7A\) ist übrigens

\(X^3-3X^2-21X+7^3\), und man sieht leicht, dass \(-7\) eine Nullstelle ist.

Comments

ok und wenn ich das charakterische Polynom von A ausrechnen soll, kann ich dann

CP(7A- 7X) ausrechnen und X sind dann meine Eigenwerte von A, oder muss ich das anders machen und am Ende irgendwie noch umrechnen?

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CP(7A- 7X) ausrechnen und X sind dann meine Eigenwerte von A,

Du meinst vermutlich : \(CP(7A)=det(7A-X)\) ausrechnen und die

Nullstellen - geteilt durch 7 - sind dann die Eigenwerte von A.

Aber die charakteristischen Polynome von \(A\) und \(7A\)

sind natürlich verschieden.

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Danke für die Antwort.

Also folgt aus

\(A\cdot v=\lambda \cdot v \iff (7A)\cdot v = (7\lambda)\cdot v\)

nicht, dass ich v und lambda

Mit det(7A-7X)=0 direkt ausrechnen kann, sondern mit det (7A-X) und die Nullstellen dann anschließend durch 7 teilen muss?

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Die Eigenwerte sind

natürlich die Nullstellen von \(\det(7A-7X)\).

Du hattest aber \(CP(7A-7X)\) geschrieben und das ist

kein sinnvoller Ausdruck.

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Also die eigenwerte von A kann ich direkt ausrechnen mit \(\det(7A-7X)\)?

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Kurz und knapp: ja!

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Und wie drücke ich das dann ja aus?

Cp(7A-7X) macht ja keinen Sinn.

Und Cp(7A) ist was anderes

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Das haben wir doch schon geklärt:

Die Eigenwerte sind die Nullstellen des Polynoms

\(\det(7A-7X\cdot E_3)\) oder

\(\{\lambda/7: \; CP(7A)(\lambda)=0\}\)