Berechnen Sie den Abstand des Punktes R von der Ebene E.

Question

Aufgabe: Gegeben sind die Ebene E: 5x1+12x3 = -2 und der Punkt R(-3/7/-13).

a) Berechnen Sie den Abstand des Punktes R von der Ebene E.

b) Zeigen Sie, dass der Punkt P(-10/3/4) in E liegt. Auf der Geraden durch P und R gibt es einen weiteren Punkt S, der denselben Abstand von der Ebene E hat wie der Punkt R. Bestimmen Sie die Koordinaten von S.

Problem/Ansatz:

Kann jemand mir bei der Lösung dieser Aufgabe helfen

Answer 1

Gegeben sind die Ebene E: 5x1+12x3 = -2 und der Punkt R(-3/7/-13).

a) Berechnen Sie den Abstand des Punktes R von der Ebene E.

E: 5·x + 12·z = -2

Abstandsformel

d = |5·x + 12·z + 2| / √(5^2 + 12^2)

Hier also den Punkt einsetzen

d = |5·(-3) + 12·(-13) + 2| / √(5^2 + 12^2) = 13

b) Zeigen Sie, dass der Punkt P(-10/3/4) in E liegt.

Und auch noch P einsetzen

d = |5·(-10) + 12·4 + 2| / √(5^2 + 12^2) = 0

Punkt P hat den Abstand 0 und liegt damit in E

Auf der Geraden durch P und R gibt es einen weiteren Punkt S, der denselben Abstand von der Ebene E hat wie der Punkt R. Bestimmen Sie die Koordinaten von S.

Kann man nicht einfach R an P spiegeln und den Spiegelpunkt S nennen? Überlege das mal.

Comments

Dann soll man R(-3/7/-13) + 2 mal P(-10/3/4) berechnen

Oder ?

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Text erkannt:

BEISPIEL
Der Punkt \( P(1|0| 9) \) soll am Punkt \( S(-2|1| 3) \) gespiegelt werden. Für den Bildpunkt B gilt:
\( \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 9 \end{array}\right)+2 \cdot\left(\begin{array}{c} -3 \\ 1 \\ -6 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} -5 \\ 2 \\ -3 \end{array}\right) \)
Somit ist \( B(-5|2|-3) \) der Spiegelpunkt von \( \mathrm{P} \) an \( \mathrm{S} \).

Ich habe diese Formel benutzt

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@Manhagava

Genau

S = 2·[-10, 3, 4] - [-3, 7, -13] = [-17, -1, 21]

Und zur Kontrolle bestimmst du jetzt den Abstand von S zur Ebene E. Schaffst du oder?

Answer 2

Alternative zum blinden Anwenden (möglicherweise) nicht verstandener Formeln:

Stelle die Gleichung einer Geraden auf, die durch R verläuf und senkrecht zur Ebene verläuft (dazu muss die Gerade den Normalenvektor von E als Richtungsvektor übernehmen).

Diese Gerade schneidet die Ebene.

Der Abstand von R zu diesem Schnittpunkt ist auch gleichzeitig der Abstand von R zur Ebene.