Koordinate x durch Vektoren finden

Question

Aufgabe:

Berechnen sie die Koordinate X1 so, dass der Vektor AG die Länge 12 hat, wenn A ( 2/3/5) und G (x1/7/13) sind.

Problem/Ansatz:

A + G = 12? Aber ich weiß nicht wie ich das ausrechen soll

Answer 1

Hallo,

die Länge eines Vektors berechnest du mit \(|\vec{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\)

\(\overrightarrow{AG}=\begin{pmatrix} x-2\\4\\8 \end{pmatrix}\)

Damit ist

\(\sqrt{(x-2)^2+80}=12\\ \Rightarrow x_1=-6\quad x_2=10 \)

Gruß, Silvia

Answer 2

Aloha :)

Den Vektor von \(A\) nach \(G\) erhältst du, wenn du von \(A\) zum Ursprung läufst, also den Vektor \((-\vec a)\) entlang gehst, und dann vom Ursprung aus zum Punkt \(G\) gehst, als den Vektor \(\vec g\) entlang.$$\overrightarrow{AG}=\vec g-\vec a=\begin{pmatrix}x_1\\7\\13\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\3\\5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_1-2\\4\\8\end{pmatrix}$$

Um uns bei der Länge des Vektors das Wurzelzeichen zu sparen, rechnen wir mit dem Quadrat:$$12^2\stackrel!=\left\|\overrightarrow{AG}\right\|^2=\left\|\begin{pmatrix}x_1-2\\4\\8\end{pmatrix}\right\|^2=(x_1-2)^2+4^2+8^2=(x_1-2)^2+80\quad\implies$$$$(x_1-2)^2=12^2-80=64\quad\implies$$$$x_1-2=\pm\sqrt{64}=\pm8\quad\implies$$$$x_1=-6\;\lor\;x_1=10$$

Es gibt also zwei mögliche Lösungen.