Nullstellen: f(x) = 1/3·e^{2·x} - 3·e^x

Question

Aufgabe:

wie berechne ich die Nullstelle der Funktion f(x) = 1/3·e^{2·x} - 3·e^x

Problem/Ansatz:

ich finde keinen Ansatz, normalerweise macht man dies ja mit dem ln, um das x lösen zu können.

Answer 1

Substituiere \( z = e^x \) dann bekommst Du eine quadratische Gleichung die man lösen kann. Dann wieder rücksubstituieren.

Answer 2

Willkommen in der Mathelounge!

\( \begin{aligned} \frac{1}{3} e^{2 x}-3 e^{x} &=0 \\ e^{x} \cdot\left(\frac{1}{3} e^{x}-3\right) &=0\\e^x\neq 0 \\ \frac{1}{3} e^{x} &=3 \\ e^{x} &=9 \\ x &=2,197 \ldots \approx 2,2 \end{aligned} \)

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Gruß, Silvia

Answer 3

f(x) = 1/3·e^{2·x} - 3·e^x = 0

1/3·(e^x)^2 - 3·e^x = 0

Man kann hier 1/3·e^x prima ausklammern

1/3·e^x·(e^x - 9) = 0

Satz vom Nullprodukt 1/3 und e^x als Faktoren werden nie Null. Bleibt also nur die Klammer

e^x - 9 = 0

e^x = 9

x = LN(9) = LN(3^2) = 2·LN(3) = 2.197

Man würde hier das exakte Ergebnis von LN(9) oder 2·LN(3) auf jedenfall stehenlassen.