Nullstellen der Funktionsschar f(x)= ax - ln(x)

Question

Hey..

Aufgabe:

Berechne die Nullstellen der Funktionsschar f(x)= ax - ln(x)

Problem/Ansatz:

f(x) = 0

0 = ax - ln(x)

ln(x) = ax

Mein Problem ist jetzt, dass ich nicht weiß, wie ich an das x kommen soll. Normalerweise würde ich e^ machen, aber hier habe ich dann x = e^ax, was nicht wirklich hilfreich ist.

LG

Answer 1

Hallo :-)

Entweder du kennst die W-Lambert Funktion (https://de.wikipedia.org/wiki/Lambertsche_W-Funktion)

oder nicht und du musst deine Gleichung näherungsweise lösen. Dafür musst du aber konkrete Werte für a wählen, um an Näherungslösungen zu kommen, da diese allgemein von a abhängen.

Comments

Okay mit dem ersten Vorschlag kann ich absolut nichts anfangen, aber ich kann was mit Newton-Verfahren anfangen und ich denke das könnte vielleicht was werden, aber wenn ich für a etwas einsetze, dann bekomme ich nur die Nullstellen für einen Vertreter der Schar. Dementsprechend gibt es wohl keine Möglichkeit , die allgemeinen Nullstellen rauszufinden, oder?

---

Es gibt schon eine allgemeine Möglichkeit, die mit der W-Lambert Funktion umsetzbar ist.

Ansonsten kannst du ja ein Näherungsverfahren (zb Newton...) für ausgewählte Werte von a anwenden, sodass du zumindest für diese ausgewählten Werte von a Näherungslösungen hast.

---

Okay Dankeschön

---

Falls du aber wissen möchtest, wann es eine Nullstelle gibt, sieht deine Frage anders aus. Du kannst dir ja mal als Hilfe die Extrema anschauen, um daraus einen Wertebereich von a herzuleiten, sodass deine Gleichung lösbar ist, also (reelle) Nullstellen deiner Funktion existieren.

---

Bei Extrema habe ich folgenden Tiefpunkt

T(1/a | 1-ln(1/a))

Daraus würde ich schlussfolgern, dass es für alle a<1 eine Nullstelle gibt. Ist das richtig?

---

Überlege dir, wann die y-Komponente Null bzw negativ ist.

---

Löse also \(1-\ln(\frac{1}{a})\leq 0\)

---

Y wird 0 oder kleiner, wenn ln(1/a)=1 ist oder auch größer 1.

1 - ln(1/1) = 1

Dann war ich der Meinung a muss kleiner als Eins sein, damit ln größer als Eins wird, aber es ist doch nichts geworden, ich bin gerade komplett planlos und habe mich mal wieder zu sehr vertieft, obwohl das alles wahrscheinlich nicht mal klausurrelevant ist.

---

Y wird 0 oder kleiner, wenn ln(1/a)=1 ist oder auch größer 1.

Nein. Wenn dann musst du 1-ln(1/a)≤0 betrachten, sonst hast du nur Gleichheit.

Dann war ich der Meinung a muss kleiner als Eins sein, damit ln größer als Eins wird, aber es ist doch nichts geworden,

Löse einfach nur die Ungleichung.

Answer 2

Könntest du evtl. die Originalfrage online stellen. Vielleicht lautet auch die Frage, für welche a gibt es Nullstellen. Dann braucht man die Nullstellen nicht berechnen.

So gibt es z.B. nur Nullstellen für a ≤ 1/e

Comments

Es gibt keine Originalfrage so gesehen. Unsere Lehrerin meinte hier ist die Funktion mit a >0 und folgendes ist gesucht: Nullstellen, Extrema, Wendepunkte. Die letzten beiden sind kein Problem weiter

---

Aber für den Fall, die Frage würde heißen "Für welche a gibt es eine Nullstelle?" wie müsste man dann vorgehen?

---

Aber für den Fall, die Frage würde heißen "Für welche a gibt es eine Nullstelle?" wie müsste man dann vorgehen?

Das wäre dann relativ leicht. Du berechnest den Tiefpunkt der Funktion und das a, für den der Tiefpunkt auf der x-Achse liegt.

---

Okay, aber es gibt ja auch bestimmt ein a, dessen Tiefpunkt unterhalb der x-Achse liegt und dessen Fkt somit auch eine Nullstelle hat, aber ich weiß dann nicht wie weit der TP unter der x-Achse ist und kann das nicht wirklich berechnen, oder?

---

für a = 1/e liegt der Tiefpunkt auf der x-Achse. Für alle 0 < a < 1/e liegt der Tiefpunkt unterhalb der x-Achse und es gibt zwei Nullstellen.

Die Koordinaten des TP kannst du exakt angeben

TP(1/a | 1 - LN(1/a))

Die Nullstellen im Fall das es zwei Nullstellen gibt, ist aber nicht so einfach anzugeben.

---

Gut Dankeschön

---

Wie gesagt weißt du wie weit der Tiefpunkt unter der x-Achse liegt. Das ist doch die y-Koordinate des Tiefpunktes. Allerdings kann man daraus auch nicht die Nullstellen berechnen. Man weiß nur das sie Links und rechts vom Tiefpunkt liegen.

Answer 3

Bleiben wir doch mal bei deiner im Rahmen deines Ansatzes aufgestellten Gleichung

ln(x) = ax

Mit den Lösungen dieser Gleichung werden die Schnittstellen des Grafen der Funktion f(x)=ln x mit verschiedenen Ursprungsgeraden ausgedrückt.

Bei a=1/e hat man eine Tangente und damit genau eine Lösung.

Für a>1/e gibt es keinen Schnittpunkt.

0< a<1/e (wird in der Skizze nur von einer Geraden repräsentiert) gibt zwei Schnittpunkte.

a=0 und auch negative a (letztere nicht abgebildet) ergeben nur einen Schnittpunkt.