Zeigen Sie, dass kein Wert für a existiert, für den alle drei Punkte in einer beliebigen Koordinatenebene legen.

Question

In einem kartesischen Koordinatensystem sind für jede reelle Zahl a die Punkte \( L_{a}(4 a-184|720| 2 a+6), \quad M_{a}(-140|a+100| 2 a) \) und \( N_{a}(5 a+94|880| 609) \) gegeben.

a) Zeigen Sie, dass kein Wert für a existiert, für den alle drei Punkte \( L_{a} M_{a} \) und \( N_{a} \) gleichzeitig in einer beliebigen Koordinatenebene legen. (Sie müssen dabei nicht alle in ein und derselben Koordinatenebene liegen.)

b) Bestimmen Sie denjenigen Wert a, sodass der Abstand zwischen den Punkten L und M, minimal ist. Geben Sie den minimalen Abstand an.

Problem/Ansatz:

… Kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen?

Answer 1

Weist du wann ein Punkt in einer Koordinatenebene liegt?

Comments

Mit Koordinatenebenen sind die x1x2, x1x3 und x2x3-Ebenen gemeint?

Dann müsste ja ein Punkt in einer Koordinatenebene liegen, wenn einer seiner Koordinaten = 0 ist.

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Genau. Es gibt nur genau einen Wert von a für den Na in einer Koordinatenebene liegt. Was ist dann mit den anderen Punkten?

Das solltest du leicht beantworten können. Wenn nicht erklären wo das Problem ist.

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Ja zum Beispiel wenn a = -100 ist.
Dann liegt Punkt M in der x1x3 Ebene. Aber die anderen Punkte nicht. Dann noch bei den anderen a's schauen, also stimmt eigentlich ganz leicht.

Mein Problem momentan ist, wie ich so einen Punkt am besten in Geogebra darstellen kann. Hast du irgendwelche Tipps, wie man bei solchen Punkten am schnellsten ein geeignetes Intervall für das Koordinatensystem findet?

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bei b) muss man ja ausrechnen wann die Punkten den minimalen Abstand zu einander haben, soweit bin ich mittlerweile gekommen:

Ist a einfach 0?

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- 6^2 ist verkehrt. Wann wird etwas Minimal? Wenn die Ableitung Null wird?

d = |LM| = √((44 - 4·a)^2 + (a - 620)^2 + (-6)^2) = √(17·a^2 - 1592·a + 386372)

d' = (17·a - 796)/√(17·a^2 - 1592·a + 386372) = 0 --> a = 796/17 = 46.82

d = √(17·(796/17)^2 - 1592·(796/17) + 386372) = 18/17·√311389 ≈ 590.8

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Wie kommst du auf:

(17·a - 796)

? Habe an der Stelle 34a-1592.

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Habe an der Stelle 34a-1592.

Und das kannst du mit der 2 unter dem Bruchstrich kürzen oder nicht?

Bitte verwende Ableitungsrechner zur Hilfe und Selbstkontrolle.

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Und das kannst du mit der 2 unter dem Bruchstrich kürzen oder nicht?

Ja das kann man, aber wer hier den unteren Bruchstrich betrachtet, der zeigt, dass er die Rechnung noch nicht zu 100% verstanden hat, denn an dieser Stelle ist es doch gar nicht mehr notwendig den Nenner zu betrachten, da hier der Wert für a gesucht ist, wo der Zähler 0 ergibt.

Und wenn der Zähler 0 ist, spielt es keine Rolle was unter dem Bruchstrich steht. Da jede Zahl die man durch Null teilt wieder Null ergibt. (Mathe Klasse 5)

Man könnte sogar 17·a - 796 noch weiter kürzen auf 8.5a-398 dann kommt da auch 46,82 raus.

Bitte lösen Sie sich von dem was Ihnen Ableitungsrechner sagen, dann geht sowas auch viel flinker.

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Ja das kann man, aber wer hier den unteren Bruchstrich betrachtet, der zeigt, dass er die Rechnung noch nicht zu 100% verstanden hat, denn an dieser Stelle ist es doch gar nicht mehr notwendig den Nenner zu betrachten, da hier der Wert für a gesucht ist, wo der Zähler 0 ergibt.

Wenn ich die Ableitung notiere um diese null zu setzen schreibe ich natürlich die gesamte korrekte Ableitung auf und nicht nur den Zähler. Du bräuchtest natürlich nicht vereinfachen. Egal wie du rechnest kommt natürlich das gleiche heraus.

d = √(17·a^2 - 1592·a + 386372)

d' = (34·a - 1592) / (2·√(17·a^2 - 1592·a + 386372)) = 0

oder alternativ

d' = (17·a - 796) / √(17·a^2 - 1592·a + 386372)

Man schreibt bei der Ableitung in der Regel aber IMMER Zähler und Nenner auf auch wenn beim Nullsetzen nachher nur noch der Zähler interessant ist.

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Den ganzen Kladderadatsch mit der Ableitung einer Wurzelfunktion hättet ihr euch sparen können.

Eine Wurzel wird genau dann minimal, wenn ihr Radikant minimal wird.

Die Betrachtung von

f(a)=(44 - 4·a)² + (a - 620)² + (-6)²)

hätte völlig genügt und wäre über die Scheitelpunktsberechnung sogar ohne Ableitung gegangen.