Prüfen Sie, ob ein Wert für a existiert, sodass im Dreieck LMN der Winkel im Punkt M rechtwinklig ist.

Question

Aufgabe: In einem kartesischen Koordinatensystem sind für jede reelle Zahl a die Punkte \( L_{a}(4 a-184|720| 2 a+6), \quad M_{a}(-140|a+100| 2 a) \) und \( N_{a}(5 a+94|880| 609) \) gegeben.

a) Ermitteln Sie alle Werte für a, sodass L, M und N Eckpunkte eines Dreiecks sind.
b) Prüfen Sie, ob ein Wert für a existiert, sodass im Dreieck LMN der Winkel im Punkt M rechtwinklig ist.

Problem/Ansatz:

Comments

a) Ermitteln Sie alle Werte für a, sodass L, M und N Eckpunkte eines Dreiecks sind.

Wann sind drei Punkte nicht Punkte eines Dreiecks?

b) Prüfen Sie, ob ein Wert für a existiert, sodass im Dreieck LMN der Winkel im Punkt M rechtwinklig ist.

Welche Rechnung erlaubt einem zu sehen, ob zwei Seiten rechtwinklig zueinander sind?

---

Wann sind drei Punkte nicht Punkte eines Dreiecks?

1. Fall: Wenn 3 Punkte auf einer Geraden liegen.
2. Fall: Wenn 2 Punkte gleich sind.
3. Fall: Wenn 3 Punkte gleich sind.

Welche Rechnung erlaubt einem zu sehen, ob zwei Seiten rechtwinklig zueinander sind?

Es gibt eine Formel mit der man den Winkel zwischen zwei Vektoren oder Seiten ausrechnen kann:
$$\cos(\alpha)=\frac{\vec{a_1}\cdot \vec{a_2}}{|\vec{a_1}|\cdot |\vec{a_2}|}$$

Diese soll 90 ergeben.

---

1. Fall: Wenn 3 Punkte auf einer Geraden liegen.
2. Fall: Wenn 2 Punkte gleich sind.
3. Fall: Wenn 3 Punkte gleich sind.

Fall 2 und Fall 3 gehören zu Fall 1. Fall 3 ist sogar noch allgemeiner, dann gibt es nicht nur eine Gerade sondern ein paar mehr Geraden.

Aber dann sollte das für dich kein Problem mehr sein oder?

Diese soll 90 ergeben.

Wenn du weißt das cos(90°) = 0 ist dann weißt du das das Skalarprodukt der Richtungsvektoren 0 sein muss.

Und auch das sollte eigentlich kein Problem mehr sein oder?

---

Fall 2 und Fall 3 gehören zu Fall 1.

Wenn 2 Punkte gleich sind, ist das dasselbe wie wenn sie auf der selben Geraden liegen?

Natürlich liegen 2 Punkte die gleich sind auf der selben Geraden, aber wie sollen 2 Punkte die zu einem Punkt verschmolzen sind, denn mit einem dritten Punkt dann noch ein Dreieck bilden können? Das geht doch gar nicht mehr, diese Punkt würden doch nur noch eine Strecke bilden.

Aber dann sollte das für dich kein Problem mehr sein oder?

*Lach* die Aufgabe hat 3 Sterne. Ich denke nicht, dass sie jetzt so leicht zu lösen ist.

Soll ich die Punkte jetzt gleich setzen (wenn das überhaupt geht) und schauen für welchen Wert von a da was gleiches bei rauskommt? Und dann eine Definitionsmenge aufstellen für alle reellen Zahlen \(\mathbb{R}\) außer \{....} die Werte für a wo zwei Punkte gleich sind? Aber dann gibt es ja noch die (unendlichen?) Möglichkeiten wo die Punkte in einer Geraden liegen. Wie kann man das denn rechnerisch prüfen? Also ja, wenn 2 Punkte eine Gerade bilden, und man den 3 Punkt mit einem Vielfachen des Richtungsvektor erreichen kann.

Wenn du weißt das cos(90°) = 0 ist dann weißt du das das Skalarprodukt der Richtungsvektoren 0 sein muss.

Das hört sich aufjedenfall leichter an.

---

Wenn 2 Punkte gleich sind, ist das dasselbe wie wenn sie auf der selben Geraden liegen?

Wenn von 3 Punkten 2 identisch sind, dann liegen die 3 (2) Punkte auf einer Geraden.

Wenn von 3 Punkten alle 3 identisch sind, dann liegen auch diese auf einer Geraden. Wie gesagt gibts dann auch noch mehr Geraden.

*Lach* die Aufgabe hat 3 Sterne. Ich denke nicht, dass sie jetzt so leicht zu lösen ist.

Sie ist sogar sehr einfach zu lösen.

---

b) Prüfen Sie, ob ein Wert für a existiert, sodass im Dreieck LMN der Winkel im Punkt M rechtwinklig ist.

ML = [4·a - 44, 620 - a, 6]

MN = [5·a + 234, 780 - a, 609 - 2·a]

ML * MN = 21·a^2 - 696·a + 476958 = 0 → Keine Lösung. Das Dreieck kann also nicht senkrecht in M sein.

a) Ermitteln Sie alle Werte für a, sodass L, M und N Eckpunkte eines Dreiecks sind.

k * [4·a - 44, 620 - a, 6] = [5·a + 234, 780 - a, 609 - 2·a] --> a = 300 ∧ k = 3/2

Für alle Werte außer a = 300 sind L, M und N Eckpunkte eines Dreiecks.

---

Wie gesagt gibts dann auch noch mehr Geraden

Wenn 3 Punkte identisch sind, dann gibt es einen Punkt.

Schau mal hier:

---

Wenn 3 Punkte identisch sind, dann gibt es einen Punkt.

Ja und. Gibt es dann nicht unendlich viele Geraden die durch diesen einen bzw. durch die 3 identischen Punkte gehen?

---

In der Aufgabe geht es aber darum, dass die Punkte ein Dreieck bilden sollen.
Das heißt, dass die Punkte Strecken bilden sollen. Da sich bei einem Abstand von 0 keine Strecke bilden kann, gibt es also nur 3 Punkte auf der gleichen Stelle.

---

Es ist mir schon klar. Du hörst nicht zu.

Gibt es eine Gerade, die durch alle 3 Punkte geht, dann gibt es kein solches Dreieck.

Durch 3 identische Punkte geht eine Gerade und deshalb gibt es kein Dreieck. Wie gesagt eigentlich langt die Bedingung mit der Geraden.

---

Ermitteln Sie alle Werte für a, sodass L, M und N Eckpunkte eines Dreiecks sind.

k * [4·a - 44, 620 - a, 6] = [5·a + 234, 780 - a, 609 - 2·a] → a = 300 ∧ k = 3/2

Hab das mal für die Vektoren LN und ML auch mal gemacht und da kommt dann auch a = 300 raus und k wäre hier anders = 1/2.

\( \left(\begin{array}{c}a+278 \\ 160 \\ -2 a+603\end{array}\right)=k \cdot\left(\begin{array}{c}4 a-44 \\ -a+620 \\ 6\end{array}\right) \)

Hab das jetzt nur durch einsetzen für a = 300 getestet. Wie kann man a und k aber rechnerisch bestimmen?

a+278=(4a-44)*k
160 = (-a+620)*k
-2a+603 = 6*k

a+278=4ak-44k
160 = -ak+620k
-2a+603 = 6k

a+278=4ak-44k
640 = -4ak+2480k

a+918=2436k
-2a+603 = 6k

a+918=2436k
-a+301,5 = 3k
k = 2
a = 300

Wie man sieht reicht es also, wenn man nur 2 Vektoren betrachtet. Woran liegt das?

---

Wie man sieht reicht es also, wenn man nur 2 Vektoren betrachtet. Woran liegt das?

Ein Dreieck ABC wird durch die Vektoren

AB = B - A und AC = C - A aufgespannt. der Vekor

BC = AC - AB ist eine linearkombination der betrachteten 2 Vektoren. Damit muss man aber nur noch die 2 Vektoren betrachten und nicht den abhängigen.

Wie kann man a und k aber rechnerisch bestimmen?

Fang mit der Gleichung für die z-Koordinate an

-2a + 603 = 6k --> a = 301.5 - 3·k

Das kann man jetzt für a einsetzen und eine andere Koordinate Lösen

160 = k·(- a + 620)
160 = k·(- (301.5 - 3·k) + 620)
160 = 3·k^2 + 318.5·k --> k2 = - 320/3 ∨ k1 = 1/2

Man könnte jetzt also die passenden Werte für a bestimmen und dann mit der Gleichung für x eine Probe machen

a1 = 301.5 - 3·1/2 = 300
a2 = 301.5 - 3·(- 320/3) = 621.5

Machen wir also eine Probe

a + 278 = k*(4*a - 44)
300 + 278 = 1/2*(4*300 - 44) → wahr

a + 278 = k*(4*a - 44)
621.5 + 278 = (- 320/3)*(4*621.5 - 44) → falsch

Daher ist a = 300 und k = 1/2 die gesuchte Lösung.