Was genau ist ein Polynom?

Question

Aufgabe:

Was genau ist ein Polynom?

Problem/Ansatz:

Ich habe ein Polynom mit dieser Definition kennengelernt: Ein Polynom ist eine Summe bestehend aus vielfachen von Potenzen mit natürlichzahligen Exponenten einer Unbekannten. Mit an=/ 0 ----- n Element der natürlichen Zahlen ---- n=/ 0.

So in etwas steht es auch auf den meisten anderen Seiten. Nun lese ich mir mein neues Mathe Heft durch und hier steht: Die Funktion h(x) =\( \frac{1}{x} \) ist eine gebrochenrationale Funktion. Der Zähler 1 IST EIN Polynom. Und der Nenner x ist ein Polynom. Jetzt frage ich mich aber, wieso sind das Polynome? Es sind ja keine Summen. Würde ich das aus dem Heft so in meine Gedanken übertragen, dann wär ja jede Zahl ein Polynom. Oder wie könnte der Autor das meinen?

Answer 1

dann wär ja jede Zahl ein Polynom.

So ist es ja auch: ein konstantes Polynom.

Eine Summe kann auch aus einem einzigen Summanden

bestehen.

Answer 2

Ein Polynom hat die Form

P(x) = a0·x^0 + a1·x^1 + a2·x^2 + a3·x^3 + ... + an·x^n

Dabei können die Koeffizienten (a0, a1, a2, ..., an) auch immer den Wert 0 annehmen.

1 = 1·x^0 + 0·x^1 + 0·x^2 + 0·x^3

x = 0·x^0 + 1·x^1 + 0·x^2 + 0·x^3

Du siehst das die Polynome 1 und x nur Spezialfälle eines Polynoms sind.

Man sieht das zur Klasse der Polynome unter anderem auch alle Monome und alle Binome zählen.

Comments

Um Verwechslungen mit einer unendlichen Reihe (die kein Polynom ist) zu vermeiden, solltest du bei P einen letzten Summanden angeben.

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Vielen Dank für den Hinweis. Ich habe den letzten Summanden ergänzt.

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Dankeschön für die Erklärung!