Ich hätte da eine Frage(Thema Trigonometrie, Einheitskreis): und zwar wann rechne ich bei Winkeln -360, +180, -180?

Question

Hallo!

Ich hätte da eine Frage(Thema Trigonometrie, Einheitskreis): und zwar wann rechne ich bei Winkeln -360, +180, -180?

Also z.B.: Berechnen sie alle Winkel, für welche gilt sin(α)= 0,7

Danke im Vorfeld!

Answer 1

Aloha :)

Du kannst bei Sinus und Cosinus beliebig oft $360^\circ$ addieren oder subtrahieren, ohne dass sich der Wert der Winkelfunktionen ändert:$$\sin(\alpha\pm n\cdot360^\circ)=\sin(\alpha)\quad\text{, wobei \(n\) eine ganze Zahl ist.}$$$$\cos(\alpha\pm n\cdot360^\circ)=\cos(\alpha)\quad\text{, wobei \(n\) eine ganze Zahl ist.}$$

Es gibt aber innerhalb eines $360^\circ$-Intervalls zwei Winkel, bei denen Sinus und Cosinus denselben Wert haben. Der Taschenrechner liefert die bei $\arcsin$ und $\arccos$ aber immer nur einen dieser beiden Winkel. Den anderen musst du selbst ermitteln. Dabei gilt:$$\sin(180^\circ-\alpha)=\sin(\alpha)\quad;\quad\cos(-\alpha)=\cos(\alpha)$$

Beim Cosinus ist das einfach, du kannst einfach das Vorzeichen des Winkels wechseln.

Bei $\cos(\alpha)=0,7$ liefert der TR als Ergebnis $\alpha=\arccos(0,7)\approx45,6^\circ$. Du musst dich dann daran erinnern, dass auch $\alpha=-45,6^\circ$ ein möglicher Winkel ist.

Beim Sinus ist es etwas fummeliger, hier musst du das Ergebnis der $\arcsin()$-Funktion von $180^\circ$ subtrahieren, um den zweiten WInkel zu finden.

Bei $\sin(\alpha)=0,7$ liefert der TR als Ergebnis $\alpha=\arcsin(0,7)\approx44,3^ \circ$. Der zweite Winkel ist nun $180^\circ-44,3^\circ=135,6^\circ$.

Answer 2

SIN(α) = c

Zunächst gibt es zwei Grundlösungen dieser Gleichung

α1 = SIN^-1(c)

α2 = pi - SIN^-1(c)

Weitere Lösungen erhältst du, indem du zu jeder Grundlösung ganzzahlige Vielfache von 2pi addierst. Also sind alle Lösungen

α1 = SIN^-1(c) + k·2pi

α2 = pi - SIN^-1(c) + k·2pi

Comments

Konkret für deine Gleichung

SIN(α) = 0.7

α1 = SIN^-1(0.7) + k·2pi ≈ 0.7754 + k·2pi

α2 = pi - SIN^-1(0.7) + k·2pi ≈ 2.3662 + k·2pi

Meistens hast du eine Definitionsmenge gegeben in deren Bereich du alle Lösungen angeben sollst. Dann benutzt du die Werte für k, für die die Lösungen in dem geforderten Bereich liegen.