Prüfe die Assoziativität und Kommutativität

Question

Aufgabe

Prüfe die folgenden Verknüpfungen \( \circ: \mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) auf Assoziativität und Kommutativität: \( x \circ y= \)


1) \( \sqrt[3]{x^{3}+y^{3}} \)
2) \( (x+y)^{2} \)

Problem/Ansatz:

Wie kann ich diese Überprüfung einfacher darstellen?

Answer 1

Kommutativität. Begründe warum

        \( \sqrt[3]{x^{3}+y^{3}} = \sqrt[3]{y^{3}+x^{3}} \)

und

      \( (x+y)^{2} = (y+x)^{2} \)

für alle \(x,y\in\mathbb{R}\) ist.

Assoziativität. Prüfe ob

        \( \sqrt[3]{{\left(\sqrt[3]{x^{3}+y^{3}}\right)}^{3}+z^{3}} = \sqrt[3]{x^{3}+{\left(\sqrt[3]{y^{3}+z^{3}}\right)}^{3}} \)

und

      \( \left((x+y)^{2}+z\right)^{2} = \left(x+(y+z)^{2}\right)^{2} \)

für alle \(x,y\in\mathbb{R}\) ist.

Wie kann ich diese Überprüfung einfacher darstellen?

Einfacher als was?

Answer 2

Für  \( x \circ y= \) \( \sqrt[3]{x^{3}+y^{3}} \) musst du für

die Assoziativität schauen, ob gilt

\( (x \circ y) \circ z= x \circ ( y \circ z) \)

Dazu rechne beide Seiten getrennt aus

\( (x \circ y) \circ z    ?   x \circ ( y \circ z) \)

\( \sqrt[3]{x^{3}+y^{3}} \circ z \)     ?   \(    x \circ  \sqrt[3]{y^{3}+z^{3}} \)

\( \sqrt[3]{(\sqrt[3]{x^{3}+y^{3}} )^{3}+z^{3}} \)  ?      \( \sqrt[3]{x^{3}+( \sqrt[3]{y^{3}+z^{3}} )^{3}} \)  

\( \sqrt[3]{(x^{3}+y^{3})+z^3}  \)    =     \( ( \sqrt[3]{x^3 + (y^{3}+z^{3})} \) 

und wegen der Assoziativität für + ist das erfüllt.