Binomische Lehrsatz statt quadratische Lösungsformel

Question

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Aufgabe 01-5 Bestimmen Sie unter Verwendung des Binomischen Lehrsatzes die unbekannten reellen Zahlen \( a, b \) und \( c \) in folgenden Identitaeten:
(a) \( x^{2}-3 x+1=(x-a)(x-b) \)
(b) \( x^{3}-2 x^{2}+8 x=(x-a)^{3}+(x+b)^{2}+(x-c) \)
Hinweis: Verwenden Sie in (a) nicht die quadratische Loesungsformel sondern vervollstaendigen Sie die linke Seite so, dass ein Term \( (x-u)^{2} \) entsteht ("quadratisches Ergaenzen"). Nuetzlich ist auch die Formel \( (a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2} \).

Ansatz:

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\( x^{2}-3 x+1=(x-a)(x-b) \quad 1+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}-1 \)
\( x^{2}+2-\frac{3}{2} x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=(x-a)(x-b)+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}-1 \)
\( \left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=(x-a)(x-b)+\frac{(\sqrt{5})^{2}}{2^{2}} \)
\( x+\frac{3}{2}=\sqrt{(x-a)(x-b)+\frac{\sqrt{3^{2}}}{2^{2}}} \)

zu b) leider kein Ansatz

Answer 1

Zu a) Quadratische Ergänzung und dritte binomische Formel rückwärts liefern$$x^2-3x+1=\big(x-\tfrac32\big)^2-\big(\tfrac{\sqrt5}2\big)^2=\big(x-\tfrac32-\tfrac{\sqrt5}2\big)\cdot\big(x-\tfrac32+\tfrac{\sqrt5}2\big).$$Zu b) Bestimme zunächst \(a\) so, dass \((x^3-2x^2+8x)-(x-a)^3\) ein normiertes quadratisches Polynom ist:$$(x^3-2x^2+8x)-(x-1)^3=x^2+5x+1.$$Nun bestimme \(b\) so, dass \((x^2+5x+1)-(x+b)^2\) ein normiertes lineares Polynom ist:$$(x^2+5x+1)-(x+2)^2=x-3.$$Damit ist$$x^3-2x^2+8x=(x-1)^3+(x+2)^2+(x-3).$$

Comments

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Aufgabe 01-5 Bestimmen Sie unter Vervendung des Binomischen Lehrsatzes die unbehamien redellen Zahlen \( a, b \) und \( c \) in folgenden kientitaiten:
(a) \( x^{2}-3 x+1=(x-a)(x-b) \)
\( \begin{array}{l} x^{2} \underbrace{-3 x}+1=0 \\ x^{2}-2 \cdot \frac{3}{2} x+1=0 \\ x^{2}-2 \cdot \frac{3}{2} x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}-\left(\frac{3}{2}\right)^{2}+1=0 \\ \left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}-\frac{9}{4}+1=0 \\ \left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}-\frac{5}{4}=0 \quad /+\frac{5}{4} \\ \left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{5}{4} \quad / \sqrt{1} \\ x-\frac{3}{2}=\sqrt{\frac{5}{4}} \\ x-\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{5}}{2} \end{array} \)
for \( x \rightarrow 2 \) Falle: \( x-\frac{3}{2}>0 \quad \& x-\frac{3}{2}<0 \)
- 1. Fall: \( x-\frac{3}{2}>0 \)
\( +\left(x-\frac{3}{2}\right)=\frac{\sqrt{5}}{2} \quad 1+\frac{3}{2} \)
\( x=\frac{\sqrt{5}}{2}+\frac{3}{2} \quad(-2,62) \)
- 2. Fall: \( x-\frac{3}{2}<0 \)
\( -\left(x-\frac{3}{2}\right)=\frac{\sqrt{5}}{2} \)
\( -x+\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{5}}{2} /-\frac{3}{2} \)
\( -x=\frac{\sqrt{5}}{2}-\frac{3}{2} / \cdot(-1) \)
\( x=-\frac{\sqrt{5}}{2}+\frac{3}{2} \quad(=0,38) \)
\( \Rightarrow a=\frac{\sqrt{5}}{2}+\frac{3}{2} \quad b=-\frac{\sqrt{5}}{2}+\frac{3}{2} \)
(b) \( x^{3}-2 x^{2}+8 x=(x-a)^{3}+(x+b)^{2}+(x-c) \)
\( x^{3}-2 x^{2}+8 x=0 \)
Substitution: \( x^{2}=m \Rightarrow \frac{3}{2} m-2 m+8 \frac{m}{2}=0,1 \cdot 2 \)
\( 3 m-4 m+8 m=0 \)
\( 7 m=0 \quad 1: 7 \)

würde dieser Lösungsweg auch funktionieren?

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Bei dir steht am Ende a=0, b=0, c=0.

Bist du wirklich der Meinung, dass

(x-0)³+(x+0)²+(x-0)

(also x²+x²+x)

das gleiche ist wie

x³-2x²+8x?

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In der Augabenstellung heißt es

Verwenden Sie in (a) nicht die quadratische Loesungsformel...

Daher macht der Ansatz \(x^2-3x+1=0\) meines Erachtens nicht wirklich Sinn.
Außerdem schreibst du erst \(x-\frac32=\frac{\sqrt5}2\) und später - 2. Fall: \(x-\frac32<0\), was sich offenbar widerspricht. Es ist mir auch nicht ganz klar, warum hier eine Fallunterscheidung notwendig sein sollte.