Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit 3 Würfel mit insgesamt 4 schwarzen Feldern zu ziehen?

Question

Aufgabe:

Ein \( 3 \mathrm{~cm} \) mal \( 3 \mathrm{~cm} \) mal \( 3 \mathrm{~cm} \) Würfel aus weißem Holz wird ganz schwarz angestrichen und dann in \( 27  \mathrm{~Würfel} \) zerhackt, jeweils \( 1 \mathrm{~cm} \) mal \( 1 \mathrm{~cm} \) mal \( 1 \mathrm{~cm} \). Diese kleineren Würfel werden dann in eine Tüte gesteckt und gemischt. Drei werden zufällig (ohne Zurücklegen) herausgegriffen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, drei Würfel mit insgesamt genau vier schwarzen Feldern zu erhalten?.

Problem/Ansatz:

Skizze:

Es handelt sich hier um Ziehen ohne Zurücklegen. Das ist für mich Musik in den Ohren, weil ich denke ich kann sofort die Hypergeometrische Verteilung anwenden. Doch ist das bei dieser Aufgabe sinnvoll?

Der 3x3x3 Würfel lässt sich in 27 kleinere Würfel zerhacken, damit gibt es 27 * 6 = 162 Flächen. Wenn man den Zauberwürfel betrachtet, sieht man, dass auf jeder Seite des größeren Würfels 9 schwarze Felder sind. Also gibt es 54 schwarze Felder und 162 - 54 = 108 weiße Felder.

In der Aufgabe wird danach gefragt, bei 3 Würfeln insgesamt genau 4 schwarze Felder zu ziehen. Das heißt, dass dann gleichzeitig 20 weiße Felder dabei sein müssen.

$$\frac{\begin{pmatrix} 54\\ 4\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 108\\ 20\\ \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} 162\\ 24\\\end{pmatrix}}\approx0.0324$$

3.2% hört sich gar nicht so unrealistisch an. Hat jemand einen anderen Ansatz dafür?

Answer 1

In deinem Modell hat man offensichtlich auch die Möglichkeit 24 schwarze Plättchen zu wählen und da kommt keine Wahrscheinlichkeit von 0 heraus.

Das kann also nicht sein.

Ich hätte einen anderen Ansatz und komme damit auf gerundet 10%. Das klingt für mich auch plausibler. Letztendlich gibt es nur einen Würfel, auf dem keine schwarze Fläche ist.

Comments

Die Möglichkeit 24 schwarze Plättchen zu wählen [...]

Das kann also nicht sein.

Stimmt. Ich habe es so betrachtet, dass man die Flächen ziehen kann, aber man zieht ja nur die 27 Würfel. Diese lassen sich in 4 Arten unterscheiden:

- 6 Würfel mit 1 schwarzem Feld und 5 weißen
-12 Würfel mit 2 schwarzen Feldern und 4 weißen
- 8 Würfel mit 3 schwarzen Feldern und 3 weißen
- 1 Würfel mit 6 weißen Feldern

Und es gibt 3 Möglichkeiten, wie man auf 4 schwarze Felder kommen kann:

$$\frac{\begin{pmatrix} 6\\ 1\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 12\\ 0\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 8\\ 1\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1\\ 1\\ \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 6\\ 0\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 12\\ 2\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 8\\ 0\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1\\ 1\\ \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 6\\ 2\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 12\\ 1\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 8\\ 0\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1\\ 0\\ \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} 27\\ 3\\\end{pmatrix}}\approx0.10051$$

---

Sehr gut. Prima gemacht.

Answer 2

schwarze Felder	0	1	2	3
Anzahl Würfel	1	6	12	8

Insgesamt 4 schwarze Felder

0+1+3 → 6*1*6*8=288

0+2+2 → 3*1*12*11=396

1+1+2 → 3*6*5*12=1080

-----> 1764

Insgesamt 6*(27 über 3), also 17550.

--> 1764/17550≈10,1%