Überprüfen sie die Konvergenz und bestimmen Sie, falls möglich, ihren Grenzwert: an= (5^n+1/(3^n))^{1/n}

Question

Also ich weiß schon a_n= ⁿ√(5ⁿ+1/(3ⁿ) = ⁿ√(15ⁿ+1) / 3

aber ich versteh nicht wie ich von da aus den Limes berechnen soll.. wenn dann dass 

ⁿ√(15ⁿ+1) / 3 > ⁿ√(15ⁿ) / 3 = 5 und damit Lim(n→∞) 5 = 5 aber damit hab ich ja nur die eine Seite

Answer 1

Die eine Seite für das Sandwich-Lemma hast du ja schon. Die andere kriiegt man z.B. mit $$\frac{1}{3} \sqrt[n]{15^n+1}

Comments

ich hab leider keine Ahnung was du damit meinst: $$\frac{1}{3} :/

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Scheinbar wurden weite Teile meines Posts vom System gefressen: $$\frac{1}{3} \sqrt[n]{15^n+1}\leq \frac{1}{3} \sqrt[n]{15^n+15^n}=2^{1/n}\frac{15}{3}$$ und das konvergier für n gegen unedlich gegen 5.

Answer 2

((5^n + 1)/3^n)^{1/n}

(5^n + 1)^{1/n}/3

1/3 * (5^n + 1)^{1/n}

1/3 * e^{ln(5^n + 1)/n}

Wir betrachten nur den Exponenten

ln(5^n + 1)/n

Regel von l'Hospital

LN(5)·5^n/(5^n + 1)

LN(5)·1/(1 + 5^{-n})

für den grenzwert n->∞ geht das gegen LN(5)

Jetzt betrachten wir wieder den gesamten Ausdruck

1/3 * e^{LN(5)}

1/3 * 5

5/3

Das ist also der Grenzwert.