Aufgabe:
a) Für eine Zahl n ∈ℕ gelten (n-1)! ≡ -1 (mod n). Zeige, dass n eine Primzahl ist.
b) Es sei p eine Primzahl. Beweise im Polynomring Fp[x] die Gleichheit xp -x = x(x-1)(x-2)...(x-(p-1)). Folgere, dass
(p-1)! ≡ -1 (mod p) gilt.
c) Erörtere den Nutzen der Kongruenz (n-1)! ≡ -1 (mod n) als Primzahltest.
Ich habe bereits Ansätze für alle drei Aufgaben, bekomme aber jeweils den kompletten Beweis nicht richtig formuliert.
Ich weiß, dass das der Satz von Wilson ist.
Zu a) habe ich bereits, dass n keine zusammengesetzte Zahl sein kann, bin mir aber unsicher ob das reicht oder ob ich explizit noch beweisen muss, dass es nur Primzahlen sein können.
Bei b) hätte ich die rechte Seite zusammengerechnet, weiß aber nicht wie.
Und bei c) hätte ich gesagt, dass sich der Test nur für kleine Zahlen eignet, da es sonst ein zu großer Aufwand wird, die Fakultät zu berechnen.
Es wäre super, wenn mir jemand sagen könnte ob ich zum einen auf dem richtigen Weg bin und mir zum anderen noch weitere Denkanstöße geben könnte.
