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1) Wir suchen ein Polynom 3-ten Grades:\(\quad \pink{f(x)=ax^3+bx^2+cx+d}\)
2a) \((2|0)\) ist ein Hochpunkt:\(\quad\quad\quad\quad f'(2)=0\)
2b) \((2|0)\) liegt auf dem Graphen:\(\quad\,\quad f(2)=0\)
3a) \((1|-2)\) ist ein Wendepunkt:\(\quad\,\quad f''(1)=0\)
3b) \((1|-2)\) liegt auf dem Graphen:\(\quad f(1)=-2\)
Wir benötigen offenbar die ersten beiden Ableitungen:$$f'(x)=3ax^2+2bx+c\quad;\quad f''(x)=6ax+2b$$um die Bedinungen formal darin einsetzen zu können:$$\text{3a)}\;\;0=f''(1)=6a+2b\implies \green{b=-3a}$$$$\text{2a)}\;\;0=f'(2)=12a+4\green b+c=12a+4\cdot(\green{-3a})+c=c\implies\blue{c=0}$$$$\text{2b)}\;\;0=f(2)=8a+4\green b+2\blue c+d=0\implies8a+4\cdot(\green{-3a})+2\cdot\blue0+d=-4a+d\implies\red{d=4a}$$$$\text{3b)}\;\;-2=f(1)=a+\green b+\blue c+\red d=a+(\green{-3a})+\blue0+\red{4a}=2a\implies a=-1$$
Damit ist \(a=-1\), \(b=3\), \(c=0\) und \(d=-4\):$$\pink{f(x)=-x^3+3x^2-4}$$
~plot~ -x^3+3x^2-4 ; {2|0} ; {1|-2} ; [[-5|5|-5|5]] ~plot~
