Ganzrationale Funktion mit folgenden Eigenschaften gesucht

Question

Aufgabe:

Gesucht ist eine ganzrationale Funktion mit den Eigenschaften:Der Funktionsgraph geht durch die Punkte P(2/1) und Q (1/3).In P hat der Graph ein lokales Minimum,in Q wechselt er das Krümmungsverhalten.

Problem/Ansatz:

Ich weiß nicht,wie man heraus finden kann,welchen Grad die Ganzrationale Funktion hat und was die Bedingungen sind.

Answer 1

in Q wechselt er das Krümmungsverhalten.

Also ist Q ein Wendepunkt. Damit ist es eine Funktion mindestens dritten Grades.

Da exakt 4 Bedingungen vorgegeben sind, ist es auch vermutlich eine Funktion genau dritten Grades.

Die Bedingungen ergeben sich aus den Text:

f(2)=1

f(1)=3

f'(2)=0

f''(1)=0

Answer 2

Hallo Liz,

Willkommen in der Mathelounge!

Ich weiß nicht,wie man heraus finden kann,welchen Grad die Ganzrationale Funktion hat

Da ein Wechsel des Krümmungsverhaltens vorgegeben ist, muss der Grad der Funktion mindestens 3 (kubisch) sein.

... und was die Bedingungen sind.

1.) Der Punkt \(P(2|1)\)

2.) Der Punkt \(Q(1|3)\)

3.) Extremum in \(P\)

4.) Wendestelle in \(Q\)

das sind 4 Bedingungen, daraus kannst Du auf eine ganzrationale Funktion mit vier Koeffizienten schließen:$$f(x) = a_3x^3+a_2x^2+a_1x^2+a_0$$also dritten Grades.

Da kubische Funktionen immer ungerade Funktionen bezogen auf ihren Wendepunkt sind, und der Wendepunkt \(Q\) gegeben ist, kann man das sofort hinschreiben als$$f(x) = a(x-Q_x)^3+ c(x-Q_x) + Q_y \\ \phantom{f(x)} = a(x-1)^3 + c(x-1) + 3$$Damit sind die Bedingungen 2.) und 4.) quasi 'verbraucht'. Prüfe das, indem Du \(x=1\) in die Funktion und in ihre zweite Ableitung einsetzt. Im ersten Fall muss \(f(1)=3\) und im zweiten Fall \(f''(1)=0\) heraus kommen.

Verbleiben noch die beiden Bedingungen 3.) und 1.) (s.o.), um die beiden Parameter \(a\) und \(c\) zu berechnen$$f'(x) = 3a(x-1)^2 + c \\ f'(2) = 0 \implies 3a + c = 0 \\ f(2) = 1 \implies a + c = -2 \\$$so muss man auch nicht ein LGS mit vier Unbekannten lösen, sondern nur eines mit zwei!$$\implies a = 1 \implies c = -3$$Und jetzt nur noch Einsetzen und Ausmultiplizieren, das kannst Du alleine

Gruß Werner

Answer 3

Falls es um eine eindeutig bestimmbare Funktion geht, hat sie den Grad 3, denn es sind 4 Bedingungen und ein Wendepunkt  gegeben.

Comments

hat sie den Grad 3, denn es sind 4 Bedingungen gegeben.

Diese Begründung ist nicht stichhaltig. Man kann auch von einer Gerade 4 Punkte abgeben, trotzdem wäre es dann keine Funktion 3. Grades.

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@a: Durch den geforderten Wechsel der Krümmungsrichtung scheiden ganzrationale Funktionen vom Grad kleiner 3 doch wohl aus, oder?

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Durch den geforderten Wechsel der Krümmungsrichtung scheiden ganzrationale Funktionen vom Grad kleiner 3 doch wohl aus, oder?

Ja sicher. Das ist auch Inhalt meines Kommentars:

Also ist Q ein Wendepunkt. Damit ist es eine Funktion mindestens dritten Grades.

Bei Roland ist diese Annahme NICHT stichhaltig begründet, wie ich durch ein Gegenbeispiel gezeigt habe.

Answer 4

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

1) Es gibt den Punkt \(P(2|1)\):\(\quad f(2)=1\)

2) Es gibt den Punkt \(Q(1|3)\):\(\quad f(1)=3\)

3) In \(P\) hat der Graph ein lokales Minimum:\(\quad f'(2)=0\)

4) In \(Q\) liegt ein Wendepunkt vor:\(\quad f''(1)=0\)

Das sind 4 Bedingungen, also muss unser Polynom 4 Unbekannte \(a,b,c,d\) haben:$$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\quad;\quad f'(x)=3ax^2+2bx+c\quad;\quad f''(x)=6ax+2b$$

Wir setzen die Bedingungen ein und beginnen bei der einfachsten Gleichung:$$\text{4)}\;0=f''(1)=6a+2b\implies2b=-6a\implies \red{b=-3a}$$$$\text{3)}\;0=f'(2)=12a+4\red b+c=12a+4\cdot\red{(-3a)}+c=c\implies\blue{c=0}$$$$\text{2)}\;3=f(1)=a+\red b+\blue c+d=a+\red{(-3a)}+\blue0+d=-2a+d\implies\green{d=3+2a}$$$$\text{1)}\;1=f(2)=8a+4\red b+2\blue c+\green d=8a+4\cdot\red{(-3a)}+2\cdot\blue0+\green{3+2a}=3-2a\implies\pink{a=1}$$

Die gesuchte Funktion lautet also:$$f(x)=x^3-3x^2+5$$

~plot~ x^3-3x^2+5 ; {2|1} ; {1|3} ; 1 ; [[-2|3|-1|5]] ~plot~

Comments

Und du erträgst es nicht, dass der Fragesteller nach Klärung der 4 Bedingungen den Ansatz selbst versuchen könnte? Zahlt dir die Firma Pampers Umsatzanteile?

Answer 5

"Aufgabe: Gesucht ist eine ganzrationale Funktion mit den Eigenschaften: Der Funktionsgraph geht durch die Punkte P(2|1) und Q (1|3).In P hat der Graph ein lokales Minimum, in Q wechselt er das Krümmungsverhalten."

P(2|1) lokales Minimum und Q (1|3) Wendepunkt → P´(2|0) lokales Minimum ( somit doppelte Nullstelle) und Q´ (1|2) Wendepunkt → lokales Maximum bei H´(0|4)

P´(2|0):

\(f(x)=a*(x-2)^2*(x-N)\)

Q´ (1|2):

\(f(1)=a*(1-2)^2*(1-N)=a*(1-N)=2\)  → \(a=\frac{2}{1-N)}\)

H´(0|4):

\(f(0)=\frac{2}{1-N)}*(0-2)^2*(0-N)=\frac{2}{(1-N)}*(-4N)=4\)  → \(N=-1\) → \(a=1\)

\(f(x)=(x-2)^2*(x+1)\)

\(p(x)=(x-2)^2*(x+1)+1\)

Answer 6

Eine mögliche Lösung wäre:

Comments

Auf was ich damit hinaus will: Man kann die Aufgabe mit einer kubischen Funktion (ganzrationale Funktion dritten Grades) lösen. Das hat Abakus aufgschrieben, und bisher vier andere Leute haben es dann noch vorgerechnet (mit der impliziten Behauptung, dass Du es nicht selber können würdest, was ich mindestens problematisch finde). Da alle vier auf dieselbe kubische Funktion gekommen sind, hatten sie wahrscheinlich recht. Es gibt aber für jeden höheren Grad jeweils beliebig viele ganzrationale Funktionen, mit denen man die Aufgabe auch lösen kann. Eine davon ist mein Beispiel hier. Wohl deswegen ist das dritte Wort der Aufgabe "eine" und nicht "die".

Answer 7

Funktionsgraph geht durch die Punkte P(2/1) und Q (1/3).In P hat der Graph ein lokales Minimum,in Q wechselt er das Krümmungsverhalten.

Der Graph geht durch den Punkt P(2 | 1)

f(2) = 1

Der Graph geht durch den Punkt Q(1 | 3)

f(1) = 3

In P (also x = 2) hat der Graph ein lokales Minimum

f'(2) = 0

in Q (also x = 1) wechselt er das Krümmungsverhalten

f''(1) = 0

Da man 4 Bedingungen hat, vermutet man eine Funktion 3. Grades mit 4 Parametern.

f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d

Benutze jetzt zur Hilfe und Selbstkontrolle http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/steckbrief.htm

Eigenschaften

f(2) = 1
f(1) = 3
f'(2) = 0
f''(1) = 0

Gleichungssystem

8a + 4b + 2c + d = 1
a + b + c + d = 3
12a + 4b + c = 0
6a + 2b = 0

Errechnete Funktion und Ableitung(en)

f(x) = x^3 - 3·x^2 + 5
f'(x) = 3·x² - 6·x
f''(x) = 6·x - 6
f'''(x) = 6