Zeige zuerst die Stetigkeit bei x=0.
Betrachte dazu für h ∈ [0, 1] exp(h)
Tipp==> 1 + h ≤ exp(h) ≤ 1 + 2h
rechte und linke Seite gehen für h gegen 0 beide gegen 1, also auch
\( \lim\limits_{h\to 0} exp(h) = 1 \) = exp(0).
Damit stimmt der rechtsseitige Grenzwert mit dem Funktionswert bei 0 überein.
Für h ∈ [-1 , 0 ] gilt -h ∈ [0, 1], also
1 - h ≤ exp(-h) ≤ 1 - 2h
und für h gegen 0 geht auch -h gegen 0, also
ist auch der linksseitige Grenzwert gleich 1.
Sei nun x∈ℝ\{0} . Dann gilt exp(x+h) = exp(x)*exp(h).
==> \( \lim\limits_{h\to 0} exp(x+h) = \lim\limits_{h\to 0} (exp(x)*exp(h)) \)
und weil exp(x) bezüglich h konstant ist
\( =exp(x) \cdot \lim\limits_{h\to 0} exp(h) \)
und wegen der Stetigkeit von exp bei 0
= exp(x) * 1 = exp(x). q.e.d.
