Newton-Verfahren Startwert finden

Question

Aufgabe:

f(x)=x² - a, a>0 besitzt die positive Nullstelle \( \sqrt{a} \). Ich soll zeigen, für welche Startwerte x₀ ∈ℝ im Newton-Verfahren (also x_k+1 =x_k - (f(x_k)/f'(x_k)) die Folge gegen die positive Nullstelle konvergiert.

Problem/Ansatz: x₀ = \( \sqrt{a} \) ist offensichtlich ein Startwert, x₀ = 0 hingegen natürlich nicht.

Ich habe intuitiv erstmal versucht, Startwert-Intervalle in ℝ zu finden, s.d. die Folge z.B. immer positiv ist und somit gegen die positive Nullstelle konvergieren muss(?). Hat aber leider nicht geklappt.

Danke schonmal für Ideen, Tipps, Hilfe!

Answer 1

Hallo,

Ich habe intuitiv erstmal versucht, Startwert-Intervalle in ℝ zu finden, s.d. die Folge z.B. immer positiv ist und somit gegen die positive Nullstelle konvergieren muss(?). Hat aber leider nicht geklappt.

Oh - warum nicht? Wie hast Du das denn gemacht?

Ich soll zeigen, für welche Startwerte x0 ∈ℝ im Newton-Verfahren (also \(x_{k+1} =x_{k} - \frac{f(x_{k})}{f'(x_{k})}\)) die Folge gegen die positive Nullstelle konvergiert.

Setze doch einfach die Funktion und ihre Ableitung ein:$$ x_{k+1} =x_{k} - \frac{f(x_{k})}{f'(x_{k})} \\ x_{k+1} = x_k - \frac{x_k^2-a}{2x_k} = \frac{x_k^2+a}{2x_k}$$Wenn \(x_k \gt 0\) ist, dann kann der nächste Wert \(x_{k+1}\) auch nur noch größer 0 sein. Wenn also die Folge konvergiert, so muss sie gegen die positive Nullstelle konvergieren.

Weiter kann man leicht zeigen, dass$$\frac{x_k^2+a}{2x_k} \ge \sqrt{a} \quad\quad \forall x_k \gt0 $$quadriere den Term. Für \(x_k \gt 0\) steht auf beiden Seiten ein positiver Ausdruck und man muss sich nicht mehr um das Vorzeichen kümmern.

Hier mal die ersten beiden Schritte des Newton-Verfahrens graphisch dargestellt.:

https://www.desmos.com/calculator/58ui8woshj

Verschiebe mal den Startpunkt auf der Parabel. Man landet in jedem Fall im ersten Schritt auf einem Wert, der größer ist als die Nullstelle.

Gruß Werner

Comments

Oh alles klar, danke. Habe Ihre Antwort erst nicht gesehen. Sehe, wo mein Fehler war. Danke!

Answer 2

Ich habe intuitiv erstmal versucht, Startwert-Intervalle in ℝ zu finden, s.d. die Folge z.B. immer positiv ist und somit gegen die positive Nullstelle konvergieren muss(?). Hat aber leider nicht geklappt

Warum hat das nicht geklappt? Für alle positiven Startwerte sollte das eigentlich klappen.

Comments

wenn ich die positiven Startwerte zwischen 0 und der positiven Nullstelle nehme, dann ist der Funktionswert negativ, die Ableitung positiv und somit das nächste Folgenglied positiv. Passt also(?). Wenn ich aber die positiven Startwerte nach der Nullstelle nehme, also der Bruch positiv ist, wüsste ich nicht, wie ich abschätzen kann, dass x(k)-(f(x(k))/f'(x(k))) immer positiv ist...