Analytische Geometrie: Zeigen Sie, dass die Gerade h die Ebene E orthogonal schneidet.

Question

die Aufgabe lautet :

Zeigen Sie, dass die Gerade h die Ebene E orthogonal schneidet.

Gilt da : normalvektor * richtungsvektor von g = 0 ?

Answer 1

Nein. Da gilt Richtungsvektor von h ist linear abhängig zum Normalenvektor von E.

Der Normalenvektor schneidet die Ebene ja auch senkrecht (orthogonal).


PS: Du kannst das auch - wenn du eine entsprechende Aufgabe hast - mit ein paar Werten bei Geoknecht 3D ausprobieren.

Answer 2

Die Gerade h schneidet die Ebene E genau dann orthogonal, wenn sie orthogonal zu einem Vektor ist, der in E liegt. Solche Vektoren sind z.B. die Richtungsvektoren von E.
h schneidet E also genau dann orthogonal, wenn das Skalarprodukt aus dem Richtungsvektor von  h und einem beliebigen der beiden Richtungsvektoren von E gleich Null ist.

Comments

Verstehe ich nicht ganz.
Richtungsvektor von der Geraden h ist : (-4|4|4)

und Richtungsvektoren von E ist : (2|2|0) und (2|0|2)

Was gilt da ?

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h orthogonal zu E$$\Leftrightarrow \left( \begin{matrix} -4 \\ 4 \\ 4 \end{matrix} \right) *\left( \begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 0 \end{matrix} \right) =0$$also ausrechnen:$$\left( \begin{matrix} -4 \\ 4 \\ 4 \end{matrix} \right) *\left( \begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 0 \end{matrix} \right) =(-4*2)+4*2)+4*0)=0$$Also ist h orthogonal zu E.

Anstelle von\(\left( \begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 0 \end{matrix} \right)\) kann auch der andere Richtungsvektor von E:\(\left( \begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 2 \end{matrix} \right)\) verwendet werden.

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ich verstehe (:

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das ist also doch eben was ich in der aufgabestellung geschrieben habe. es wiederspricht sich aber doch mit dem was der_mathecoach geschrieben hat?

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ich verstehe (:

Das freut mich :-)

es wiederspricht sich aber doch mit dem was der_mathecoach geschrieben hat?

Nein, der_Mathecoach hat eine andere, aber ebenso korrekte Bedingung angegeben. Da der Normalenvektor der Ebene (den man allerdings erst ausrechnen muss) senkrecht auf der Ebene steht, verläuft er parallel zum Richtungsvektor von h,  wenn h ebenfalls senkrecht auf E steht. Das aber bedeutet, dass der Richtungsvektor von h und der Normalenvektor der Ebene linear abhängig sind (der eine ist ein Vielfaches des anderen).

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Ah ok ! Es gilt also beides ? (:
Einmal : u*n = 0

und einmal : u = r*n

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Wenn man wie JotEs rechnet muss man aber zeigen das die Gerade senkrecht zu beiden Richtungsvektoren ist. Erst dann ist der Vektor wirklich senkrecht zur Ebene. Das ganze mit nur einem Vektor zu zeigen langt hier nicht.

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Und bitte nicht den Normalenvektor der Ebene mit den beiden Richtungsvektoren verwechseln.

Die Richtungsvektoren der Ebene sind parallel zur Ebene. Der Normalenvektor der Ebene steht senkrecht zur Ebene. Das ist also ein Unterschied.

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Wenn man wie JotEs rechnet muss man aber zeigen das die Gerade senkrecht zu beiden Richtungsvektoren ist.

Das stimmt, da hatte ich einen kleinen Denkfehler.  Also: Dank an Der_Mathecoach.

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Liebe Mathematiker,

ich gebe euch bezüglich aller Lösungen vollkommen recht jedoch heißen die "Richtungsvektoren" einer Parametergleichung nicht Richtungsvektoren sondern Spannvektoren.

,

Ich

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Die Richtungsvektoren werden auch Spannvektoren genannt, weil sie eine Ebene aufspannen.

In vielen Büchern wird aber bei Ebenen auch von Richtungsvektoren und nicht von Spannvektoren gesprochen Das kann also denke ich mal nicht so falsch sein.

Grundsätzlich unterteilt man die Vektoren auch in zwei Klassen. Zum einen die Ortsvektoren oder Stützvektoren, die vom Koordinatenursprung anfangen und bei denen der Punkt wichtig ist auf den sie verweisen.

Dann gibt es noch die Richtungsvektoren die nicht an einen Ort im Koordinatensystem gebunden sind. Bei diesen Vektoren steht die Richtung im Vordergrund.