Bestimmen Sie die erste Ableitung der Funktion (Mit Parameter)

Question

Gegeben sei folgende Funktion:

\( f_{\alpha}(x)=\left\{\begin{array}{l} \alpha^{3} x e^{-\alpha^{3} x}, x \geq 0, \\ 0, x<0 \end{array}\right. \)
wobei \( \alpha>0 \) gilt.

a) Sei \( x_{1}, \ldots, x_{N} \in \mathbb{R}_{>0} \). Bestimmen Sie die erste Ableitung der Funktion
\( \ln \left(\prod \limits_{n=1}^{N} f_{\alpha}\left(x_{n}\right)\right) \)
bezüglich \( \alpha \).

Answer 1

ln (a*b) = ln a + ln b

(gilt entsprechend auch für mehr als 2 Faktoren).

Wende dieses Logarithmengesetz an und leiten jeden einzelnen Summanden nach Kettenregel ab.

Comments

Ich verstehe dieses Produktzeichen nicht. Ich kann ja nicht unendlich viele Zahlen in die Funktion einsetzen (Also 1 bis unendlich) und dann erst die ableitung bilden.

---

Ich verstehe dieses Produktzeichen nicht.

Wofür musst du das verstehen? Nach dem Logarithmengesetz wird eine Summe daraus.

(Also 1 bis unendlich)

Auch das steht so nicht in der Aufgabe, es geht nur von 1 bis N.

Und selbst wenn:

Du sollst \(ln \alpha^{3} x_1 e^{-\alpha^{3} x_1} \) +  \(ln \alpha^{3} x_2 e^{-\alpha^{3} x_2} \)+ \(ln \alpha^{3} x_3e^{-\alpha^{3} x_3} \)+...+ \(ln \alpha^{3} x_N e^{-\alpha^{3} x_N} \) nach alpha ableiten.